Echte und endständige Rekursionen

Rekursionsarten

Echte Rekursion	Endständige Rekursion
Eine Prozedur heißt echt rekursiv, wenn das Ergebnis erst im rekursiven Aufstieg ermittelt wird. Dazu müssen alle aktuellen Wertbindungen vor jedem neuen rekursiven Aufruf gespeichert werden (Stapel / Stack), damit sie im rekursiven Aufstieg zur Verfügung stehen.	Eine Prozedur heißt endständig rekursiv, wenn das Ergebnis bereits nach dem rekursiven Abstieg feststeht. Häufig wird das aktuelle Ergebnis in einer zusätzlichen Akkumulatorvariablen mitgeführt. Die aufwändige Stapelverwaltung entfällt. Endständige Rekursionen bezeichnet man deshalb auch als Iterationen.
Beispiel: (define fak-rek (lambda (n) (if (= n 0) 1 (* n (fak-rek (- n 1)))))) Trace-Modus: (trace 'fak-rek) (fak-rek 5)ausführen	Beispiel: (define fak-help (lambda (n fak) (if (= n 0) fak (fak-help (- n 1) (* n fak))))) (define fak-it (lambda (n) (fak-help n 1))) Trace-Modus: (trace 'fak-it) (trace 'fak-help) (fak-it 5)ausführen
Trichtermodell der internen Abläufe:	Trichtermodell der internen Abläufe:

Beachte: Die mitunter effizientere endständige Rekursion darf zu keinen Zwängen bei der rekursiven Beschreibung von Problemlösungen führen!

Aufgaben

1. Quadratzahlen

   Eine Liste mit n Quadratzahlen soll generiert werden.
   

   • Geben Sie eine echt rekursive Lösung an.
   (define quadzahlen-rek (lambda (n) ...))
   jetzt prüfen
   (quadzahlen-rek 10)ausführen

   • Implementieren Sie nun eine endständig rekursive Prozedur.
   (define quadzahlen-help (lambda (n ls) ...)) (define quadzahlen-it (lambda (n) ...))
   jetzt prüfen
   (quadzahlen-it 10)ausführen

2. 
   

   Turm von Hanoi

   Vermutlich stammt dieses Spiel von dem französischen Mathematiker Édouard Lucas (* 4. April 1842; † 3. Oktober 1891), bei dem ein Turm aus einzelnen Scheiben von A nach B unter Nutzung des Hilfsplatzes H umgesetzt werden soll. Dabei darf immer nur eine Scheibe so bewegt werden, dass eine kleinere auf einer größeren Scheibe liegt. Lucas dachte sich dazu die Geschichte aus, dass indische Mönche im großen Tempel zu Benares, im Mittelpunkt der Welt, einen Turm aus 64 goldenen Scheiben versetzen müssten. Wenn ihnen das gelungen sei, wäre das Ende der Welt gekommen.

   Turm von Hanoi

   Gegeben sei folgende Implementation:

   (define count 0) (define verschiebe (lambda (n start h ziel) (if (> n 0) (begin (verschiebe (- n 1) start ziel h) (set! count (+ count 1)) (display (string-append "Scheibe " (number->string n) ": " start " --> " ziel)) (newline) (verschiebe (- n 1) h start ziel))))) (define hanoi (lambda (n) (verschiebe n "A" "H" "B") (display (string-append "--> " (number->string count) " Bewegung(en)")) (newline) 'ok))

   Hinweis: Testen Sie die Prozedur mit kleinen Argumenten!

   (hanoi 3)ausführen

   Beschreiben Sie die Spielstrategie (d.h. den Lösungsalgorithmus) verbal. Entscheiden Sie, ob eine echt rekursive oder endständig rekursive Prozedur vorliegt. Ermitteln Sie, welcher Zusammenhang zwischen der Anzahl der Scheiben und der Anzahl der erforderlichen Bewegungen besteht. In wie vielen Jahre "droht" das Ende der Welt, wenn die indischen Mönche im Tempel zu Benares für die Bewegung jeder einzelnen Scheibe eine Sekunde benötigen würden?

   Turm von Hanoi mit 3 Scheiben

Zum Weiterarbeiten

Der zerbrochene Stab

Ein Stab mit der Länge von einem Meter fällt vom Tisch und zerbricht millimetergenau in höchstens drei Teile.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit lässt sich aus den Bruchstücken ein Dreieck legen?
Simulieren Sie diesen Vorgang in jeweils einer echtrekursiven bzw. endständig rekursiven Prozedur.

Zur Problemlösung.