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Aufgabe 3 (Ingo Körner, Christof Ochmann)

Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen abzählbar unendlich sind: \Z, \Q, die Menge der Primzahlen, die geraden Zahlen.

Für \Z:

Für \Q:

Es werden mit Hilfe des ersten Cantorschen Diagonalisierungsverfahren alle Zahlen erreicht.

Für die Menge der Primzahlen:

1. Die Menge der Primzahlen P ist unendlich (nach Satz von Euklid).

2. Die Menge der Primzahlen P ist abzählbar unendlich, da gilt: P \subset \N.

Für die Menge der geraden Zahlen:

1. Die geraden Zahlen G sind unendlich (per Definition) und abzählbar unendlich, da gilt: G \subset \Z.

Aufgabe 4 (Ingo Körner, Christof Ochmann)

ÜA: Zeigen Sie, dass jede endliche Menge M aufzählbar ist.

aufzählbar = abzählbar + berechenbar

1) Jede endliche Menge ist aufzählbar (per Definition).

2) Jede endliche Menge ist berechenbar.

Es gibt eine Funktion f, die als Eingabe die natürlichen Zahlen N nimmt und auf jedes Element der endlichen Menge M abbildet. f ist berechenbar, da es eine total berechenbare surjektive Funktion f : N -> M gibt. Es wird der Reihe nach jedes Element aus N einem Element aus M zugeordnet. Ist f sujektiv, können die restlichen Elemente aus N auf ein beliebiges Element von M abgebildet werden. Somit ist f surjektiv, total und berechenbar.

ÜA: Die Menge G der Gitterpunkte (0, 0),(0, 1), ... einer x-y-Ebene ist aufzählbar.

Übersicht: 2D-Ebene

1 Geben Sie eine Funktion f an, die \N_0 bijektiv auf G abbildet.

2 Definieren Sie eine Ordnungsrelation p_< in G.

(G, p_<) = {(0,0) < (0,1) < (1,0) < (2,0) < (1,1) < (0,2) < (0,3) < (1,2) < (2,1) < ...}

3 Geben Sie eine Funktion k zur Berechnung der Platznummer k(x, y) des betrachteten Gitterpunktes (x, y) an.

4 Geben Sie eine Aufzählprozedur für G an und begründen Sie deren Berechenbarkeit.

Teilaufgabe 1 - Beweis Teil 1 (Ingo Körner, Christof Ochmann)

Hinrichtung des Satzes: Wenn M eine entscheidbare Menge ist, dann sind M und A^*\M aufzählbare Mengen.

Beweis: Aus der Entscheidbarkeit von M folg semi-Entscheidbarkeit von M und \M. Jede semi-entscheidbare Menge M ist aufzählbar. Es gibt eine Aufzählfunktion f für M. Sie wird auch Contorsche Paarungsfunktion genannt.

wobei a \in M, wenn M \neq \emptyset

Turing-Aufzählbarkeit, Turing-Entscheidbarkeit (Max Wielsch, Raik Bieniek, Ingo Körner, Christof Ochmann)

Definieren Sie die Begriffe Turing-aufzählbar und Turing-entscheidbar analog zur Turing-Berechenbarkeit.

Sei A ein Alphabet, M \subseteq A^*. M heißt Turing-entscheidbar, falls die charakteristische Funktion \chi_M Turing-berechenbar ist.

M heißt Turing-aufzählbar, wenn es eine Funktion f: N \rightarrow M gibt, die surjektiv und Turing-berechenbar ist.

Aufgabe 1 (Ingo Körner, Christoph Ochmann)

Zeigen Sie die Unentscheidbarkeit von L_{\Sigma^{*}}:=\{\left\langle M \right\rangle | L(M) = \Sigma^{*} \} durch Reduktion des Halteproblems.

Berechne aus der Eingabe <m> die Kodierung der Maschine M'. M' ist die Maschine, die ihre Eingabe löscht, dann <m> auf das Band schreibt und dann auf <m> weiterrechnet. <m> ist \in L_{\Sigma^{*}} genau dann, wenn M' termiert.</m></m></m></m>