Minimaler Spannbaum SS12

Wozu?

Minimale Spannbäume (englisch: Minimal Spanning Tree, Abkürzung: MST) können zum lösen vieler Probleme genutzt werden. Ein Problem, dass man mit MST lösen kann ist z.B., dass verbinden mehrerer Inseln mit Brücken. Man möchte, dass alle Inseln miteinander verbunden sind und die Brücken minimale Länge haben und damit minimale Kosten entstehen. Dabei sollen die Inseln so verbunden werden, dass man alle Inseln über die Brücken berreisen kann und keine redundanten Brücken entstehen. Redundante Brücken sind Brücken mit der man eine Insel erreicht, die man auch über einen anderen ggf. längeren Weg hätte erreichen können. Längerer Weg heißt in diesem Fall, dass man über (eine) andere Brücke(n) reisen muss um die Insel zu erreichen.

Spannbäume

Spannbaum

Im Folgenden soll eine Einführung in die Begriffe und Grundvorraussetzungen für MST gegeben werden. Die Begriffe werden dabei anhand des Beispiels aus dem Punkt Wozu? erklärt.
Im allgemeinen hat man n-Knoten die man zu einem Spannbaum verbinden möchte. Wir haben also n-Inseln die miteinander verbunden werden sollen. Dazu benötigt man immer n-1 Kanten (Brücken).
Man geht immer von einem zusammenhängenden, gewichteten und ungerichteten Graphen G=(V,E) aus. V ist die Menge der Knoten und E ist die Menge der möglichen Verbindungen zwischen allen Parren von Knoten. In unserem Beispiel also alle möglichen Brücken. Jede Kante (u,v)\in E besitzt ein Gewicht w(u,v) (deshalb gewichtet), dass die Länge (auch Kosten gennant) angibt. Ein Graph G ist ungerichtet, wenn die Kanten des Graphen keine Pfeile sondern Striche sind. Das heißt also, dass es innerhalb des Graphen keine Einschränkung der Wege gibt. Ein ungerichteter Graph heißt zusammenhängend, wenn es zu je zwei belliebigen Knoten u und v einen ungerichteten Weg gibt mit u als Startknoten und v als Endknoten.
Die Kante (u,v) ist die Kante, die die beiden Knoten u und v verbindet. Ist S eine azyklische Teilmenge S \subseteq E die alle Knoten verbindet so ist dies ein Spannbaum. Azyklisch bedeutet, dass sich keine Kreise bilden dürfen. Da dies eine nötige Bedingung für Baum ist. Der Spannbaum ist eine Sonderform des Baums, denn es ist ein Baum der einen Graphen aufspannt.

Minimale Spannbäume

minimaler Spannbaum

Die azyklische Teilmenge T \subseteq E, die alle Knoten miteinander verbindet ist ein Spannbaum. Ist das Gesamtgewicht minimal so ist dies ein minimaler Spannbaum.

Auf der rechten Seite ist ein minimaler Spannbaum zu sehen. Die roten Kanten sind die Kanten des minimalen Spannbaums die grauen Kanten, sind die Kanten, die vom Graphen nicht benötigt werden.

Zur Bestimmung minimaler Spannbäume gibt es zwei bekannte Algorithmen. Einen von Kruskal und einen von Prim. Beide haben eine Laufzeit unter Verwendung binärer Heaps von \mathcal{O}(E\lg{}V). Der Prim-Algorithmus läuft jedoch effektiver unter Verwendung von Fibonacci-Heaps mit einer Laufzeit von \mathcal{O}(E+V\lg{}V). Dies ist eine Verbesserung unter der Vorraussetzung, dass |V| wesentlich kleiner ist als |E|.

Beide Algorithmen sind Greedy-Algorithmen

Algorithmen zum Bilden minimaler Spannbäume

Algorithmus von Kruskal

Idee

Funktionsweise

Implementierung

Algorithmus von Prim

<language>Java</language>