Einführung

Eine Prioritätswarteschlange ist eine spezielle abstrakte Datenstuktur und, wie der Name bereits vermuten lässt, eine erweiterte Variante einer Warteschlange(queue). Die Elemente der Warteschlange haben Schlüssel, die ihre Priorität bestimmen. Prioritätswarteschlangen lassen sich mit verschiedenen Datenstrukturen implementieren. Hier werden sie anhand von Heaps vorgestellt.

Binäre Heaps

Zum besseren Verständis beim Umgang mit Heaps wird der Heapsort Algorithmus erläutert. Ein binärer Heap kann als ein fast vollständiger binärer Baum angesehen werden. Jeder Knoten entspricht dabei einem Element des Feldes. Die niedrigste Ebene des Baumes ist von links her bis zu einem bestimmten Punkt, der Rest vollständig gefüllt. Ist A ein Feld, dass einen Heap repräsentiert, dann hat es zwei Eigenschaften: länge[A], die Anzahl der Elemente des Feldes, und heap-größe[A], die Anzahl der Elemente im Heap. Es ist also kein Element hinter A[heap-größe(A)] mit heap-größe[A] \leq länge[A] ein Element des Heaps. Die Wurzel des Baumes ist A[1]. Bei gegebenem Index i lassen sich die Indizes des Vaters Vater(i) und die des rechten und linken Kindes Right(i), bzw. Left(i) berechnen.

Vater(i)
\lfloor return' i/2 \rfloor

Right(i)
return 2i

Left(i)
return 2i+1

Die Höhe eines Knoten ist als die Anzahl der Kanten des längsten einfachen absteigenden Pfades zu einem Blatt definiert. Die Höhe des Heaps ist die Höhe seiner Wurzel. Ein Heap mit n Elementen hat die Höhe \theta(lg n), da er auf einem vollständigen binären Baum basiert.

Arten binärer Heaps

Es gibt zwei Arten binärer Heaps: Max-Heaps und Min-Heaps. Beide erfüllen eine spezifische Heap-Eigenschaft. Die Max-Heap-Eigenschaft besteht darin, dass für jeden Knoten i außer der Wurzel gilt: A[Vater(i)] \geq A[i], d.h. der Wert eines Knotens ist stets höchstens so groß, wie der seines Vaters. In einem Max-Heap liegt das größte Element also in der Wurzel.

Ein Min-Heap ist entgegengesetzt aufgabaut. Hier gilt: A[Vater(i)] \leq A[i]. Hier liegt in der Wurzel das kleinste Element. Für Heapsort werden Max-Heaps verwendet, für Prioritätswarteschlangen Min-Heaps.

Grundlegende Operationen

Max-Heapify

Sorgt für die Aufrechterhaltung der Heap-Eigenschaft. Erhält ein Feld A und einen Index i. Es wird angenommen, dass die Bäume, die von Left(i) und Right(i) ausgehen die Max-Heap-Eigenschaft erfüllen, A[i] dagegen kann kleiner als seine Kinder sein, was die Heap-Eigenschaft verletzen würde. Max-Heapify lässt den Wert von A[i] im Heap nach unten sinken, sodass der von i ausgehende Teilbaum zu einem Max-Heap wird.

Max-Heapify(A,i)
l\leftarrowLeft(i)
r\leftarrowRight(i)
if l \leq heap-größe[A] und A[l] > A[i]
  then maximum \leftarrow l
  else maximum \leftarrow i
if r \leq heap-größe[A] und A[r] > A[maximum]
  then maximum \leftarrowr
if maximum \neq i
  then vertausche A[i] \leftrightarrow A[maximum]
       Max-Heapify(A,maximum)

Abbildung

Laufzeit

Die Laufzeit setzt sich zusammen aus \Theta(1) um die Beziehungen zwischen A[i], A[Left(i)] und A[Right(i)] zu bestimmen, sowie der Zeit für die Ausführung von Max-Heapify auf einen von i ausgehenden Teilbaum. Die von den Kindern ausgehenden Teilbäume haben höchstens die Größe \frac{2n}{3}. Der schlechteste Fall tritt ein, wenn die letzte Ebene des Baumes exakt halb gefüllt ist. Die Rekursionsgleichung T(n) \leq T(\frac{2n}{3})+\Theta(1) beschreibt die Laufzeit von Max-Heapify. Nach dem Mastertheorem ist die Lösung T(n)=O(lg (n)). Die Laufzeit auf einen Knoten der Position h kann auch mit O(h) angegeben werden.

Build-Max-Heap erzeugt einen Max-Heap aus einem ungeordneten Feld O(n)

Build-Heap

Um ein Feld A[1..n] mit n=länge[A] in einen Max-Heap zu überführen kann die Prozedur Max-Heapify bottom-up angewendet werden. Alle Elemente im Teilfeld A[(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor +1)..n] sind Blätter des Baumes, daher sind sie zu Beginn einelementige Heaps. Build-Max-Heap durchläuft alle übrigen Knoten und führt dort Max-Heapify aus.

Build-Max-Heap(A)
heap-größe[A] \leftarrow länge[A]
for i \leftarrow \lfloorlänge[A]/2 \rfloor  downto 1
   do Max-Heapify(A,i)

Beweis für korrekte Arbeit

\TBD

Übungsaufgaben

• Mastertheorem Anwendung für die Rekursionsgleichung von Max-Heapify (T(n) \leq T(\frac{2n}{3})+\Theta(1))

Allgemeine Form des Mastertheorems:
T(n) = a \sdot T(\textstyle \frac{n}{b}) + f(n)

• Was ist die maximale und minimale Anzahl von Elementen in einem Heap der Höhe h?

• In einem max heap, wo befindet sich das kleinste element, wenn alle paarweise verschieden sind?

• Ist [5,4,1,3,2] ein max heap?

• Was macht Max-Heapify(A,i), wenn A[i] größer als seine Kinder ist

Exkurs Heap-Sort

kurzes blabla um an vorgänger an zu knüpfen

Normale Warteschlangen

Prozess des hinzufügens und herausnehmens von Elementen aus einer Warteschlange

Anwendung findet die normale Warteschlange vor allem bei verteilten Systemen bei bei der Synchronisation von Prozessen/Threads. Dies lässt sich am Beispiel der Warteschlange bei Druckaufträgen vorstellen. Wenn ein Druckauftrag gesendet wurde, der Drucker jedoch bereits in benutzung ist, so wird der Druckauftrag in eine Warteschlange gesteckt. So kann der Drucker die anstehenden Aufträge seriell abarbeiten, ohne, dass der Nutzer warten muss bis der Drucker wieder frei ist.

Eine gute Analogie, um die normalen Warteschlangen zu beschreiben ist "Wer zuerst kommt mahlt zuerst" (oder in unserem Beispiel "druckt zuerst").

Benötigte Methoden

Um mit normalen Warteschlangen arbeiten zu können benötigt man mindestens zwei Methoden:

• Enqueue: Zum Hinzufügen neuer Elemente.
• Dequeue: Zum Herausnehmen des "ersten" Elements.

Prioritätswarteschlangen

Wie bei Heaps gibt es auch hier zwei Varianten Max-Prioritätswarteschlangen und Min-Prioritätswarteschlangen. Im folgenden werden Min-Prioritätswarteschlangen verwendet.

Prioritätswarteschlange

Eine Prioritätswarteschlange ist eine Datenstruktur für die Speicherung einer Menge S, deren Elementen jeweils ein Wert zugeordnet ist, den man als Schlüssel bezeichnet.

Grundoperationen

decrease-key(S,x,k)

Verringert den Wert des Schlüssels von Element x auf den neuen Wert k. Da so die Heap-Eigenschaft verletzt werden kann, dürchläuft die Prozedur anschließend vom Knoten i beginnend den Heap bis zur Wurzel um die richtige Position zu finden.

decrease-key(S,i,k)
if k > A[i]
then return "neuer Schlüssel ist größer als der aktuelle Schlüssel"
A[i]\leftarrowk
while i > 1 und A[Vater(i)] > A[i]
    do A[i]\leftrightarrowA[Vater(i)]
      i\leftarrowVater(i)

Laufzeit auf einem Heap mit n Elementen ist O(lg n), da der Pfad vom Knoten i bis zur Wurzel die Länge O(lg n) hat.

Insert(S,x)

Fügt das Element x in die Menge S ein. Die Operation kann als S \leftarrow S \bigcup {x} geschrieben werden. Zunächst wird der Heap erweitert, indem ein neues Blatt mit dem Platzhalter Schlüssel "X" eingefügt wird. Anschließend wird mittels Heap-Decrease-Key der korrekte Schlüssel eingefügt und gegebenenfalls die Heap-Eigenschaft wiederhergestellt,

Insert(S,x)
heap-größe[A]\leftarrowheap-größe[A]+1
A[heap-größe[A]]\leftarrowX
Heap-Decrease-Key(A,heap-größe[A],x)

Laufzeit auf einem Heap mit n Elementen ist O(lg n).

Minimum(S)

gibt das Element mit dem kleinsten Schlüssel zurück

Minimum(s)
return A[1]

Laufzeit trivial \theta.

Extract-Min(S)

entfernt das kleinste Element und gibt es zurück

Extract-Min(S)
if heap-größe[S]<1
  then return "Heap Unterlauf"
min\leftarrowS[1]
S[1]\leftarrowS[heap-größe(S)]
heap-größe(S)\leftarrowheap-größe(S)-1
Min-Heapify(S,1)
return min

Die Laufzeit von Extract-Min(S) ist O(lg n), da zusätzlich zu Min-Heapify nur eine konstante Zeit kommt.

Übung

Extract-Min([Heap])

Insert(H,10) A=[]

Nicht Adressierbare Prioritätswarteschlangen

siehe prio-queues was hir rein soll

Binary Heaps

was ist das, wie funktioniert das?

Adressierbare Prioritätswarteschlangen

Die Struktur binärer Heaps ist zu unflexibel für die Implementierung adressierbarer Prioritätswarteschlangen, daher werden hierfür andere Formen von Heaps verwendet. Diese versprechen schnellere Laufzeiten für insert, decreaseKey, remove und merge. Der Einzelne binäre Baum wird ersetzt durch eine Sammlung von Bäumen (einem sogenannten Wald) mit willkürlicher Struktur. Dabei erfüllen die einzelnen Bäume natürlich immernoch die Heap-Eigenschaft. Weiterhin wird ein Zeiger auf jedes Heap Element im Speicher behalten. Dabei zeigt minPtr auf das kleinste element. Der Wald wird mit drei Operationen verwaltet: Einen neuen Baum hinzufügen, zwei Bäume verbinden und einen Teilbaum abschneiden. insert fügt einen einelementigen Baum hinzu O(1) delete min löscht kleinstes element -> kinder werden wurzeln, neues minimum suchen, rebalancing -> schlüssel zur effizienz decreaseKey(h,k) Schlüsselwerte bei position h auf k reduziert, kann heap eigenschaft verletzen -> teilbaum mit wurzel h abschneiden remove decreasen bis kleinstes element, delete min merge union von wurzeln, minPtr aktualisieren (kleinere wurzel) Durch diese operationen können sehr schlecht struktuierte bäume entstehen, daher werden bei einigen varianten zusätzliches rebalancing

Binominal Bäume

Im Gegensatz zu binären heaps können binomial Heaps effizient vereinigt werden. Binomial-Heaps unterstützen die Operationen insert, remove, extractMin, decreaseKey, merge Alle Operationen lassen sich mit einer Worst-Case-Laufzeit von O(log n) implementieren.

Binomial-Heaps bestehen aus einer Liste von Binomial-Bäumen verschiedener Ordnung. Diese erfüllen alle die Heap-Eigenschaft. Die Bäume sind dabei rekursiv definiert. Ein Binomial-Baum der Ordnung 0 besteht aus einem einzelnen Knoten. Ein Binomial-Baum der Ordnung k besitzt eine Wurzel mit Grad k deren Kinder genau die Ordnung k-1, k-2, ..., 0 (in dieser Reihenfolge) besitzen.

Damit lässt sich ein Binomial-Baum der Ordnung k leicht aus zwei Binomial-Bäumen der Ordnung k-1 erstellen. Dabei wird einer der beiden Bäume zum am weitesten links stehenden Kind des anderen gemacht. Daraus lässt sich ableiten, dass ein Binomial-Baum der Ordnung k genau 2^k Knoten und Höhe k hat.

Operationen

merge Die Verschmelzung zweier Heaps ist die zentrale Operation bei binomial-Heaps, da sie bei allen anderen Operationen aufgerufen wird. Dazu werden simultan die Listen der beiden Heaps beginnend bei den Bäumen niedrigster Ordnung durchlaufen. In einer speziellen Variablen wird – ähnlich der bitweisen Addition – ggf. ein Übertrag (in Form eines Baumes) festgehalten. Anfangs ist dieser Übertrag leer.

Sei nun x die höchste Binärstelle von n_1+n_2 verschieden von 0, das heißt x=\log_2(n_1+n_2+1)-1. Zu jeder natürlichen Zahl k mit 0\leq k\leq x wird nun in aufsteigender Reihenfolge die Anzahl der Bäume mit Ordnung k in beiden Heaps und in der Übertragsvariablen betrachtet. Ist diese

   0, so passiert nichts.
   1, so wird der entsprechende Baum in den neuen Heap übernommen und der Übertrag ggf. geleert.
   2, so wird der Baum, dessen Schlüssel an der Wurzel größer ist, zum am weitesten links stehenden Kind des anderen Baumes gemacht und der so entstehende Baum der Ordnung k+1 als Übertrag behalten.
   3, so wird der Baum aus dem Übertrag in den neuen Heap übernommen und von den beiden Bäumen in den Heaps wird der Baum, dessen Schlüssel an der Wurzel größer ist zum am weitesten links stehenden Kind des anderen Baumes gemacht und der so entstehende Baum der Ordnung k+1 als Übertrag behalten.

Jeder dieser Schritte lässt sich in konstanter Zeit durchführen. Da maximal \log_2(n_1+n_2+1) derartige Schritte getätigt werden, benötigt die Operation im schlimmsten Fall nur logarithmisch viel Zeit.

remove Neben merge ist das Entfernen eines Elementes (remove), die anspruchsvollste Operation. Sei X das zu entfernende Element, seine Ordnung x und T der Binomial-Baum, der dieses Element enthält und dessen Ordnung k beträgt. Ausgehend von X muss der Binomial-Baum, der das Element enthält, geeignet in kleinere Binomial-Bäume aufgespalten werden. Dieses Aufspalten des Baumes geschieht am einfachsten mit einer rekursiven Funktion split, der als Argument ein Knoten im Baum übergeben wird. Anfangs ist X selbst das Argument. Sofern das übergebene Argument einen Elternknoten besitzt, ruft sich die Funktion zuerst selbst mit diesem als Argument auf und entfernt anschließend solange das am weitesten links stehende Kind des Vaters – also das Kind mit höchster Ordnung – bis das Argument selbst aus dem Baum entfernt wurde.

Da das Entfernen des am weitesten links stehenden Elementes gerade die umgekehrte Operation zum oben dargestellten rekursiven Aufbau der Binomial-Bäume darstellt, sind die so abgespaltenen Bäume und der Rest weiterhin Binomial-Bäume. Ferner ist X nun Wurzel eines Baumes und es lässt sich zeigen, dass der ursprüngliche Baum nun in genau 2 Binomial-Bäume der Ordnung x sowie in jeweils einen Binomial-Baum der Ordnung x+1, x+2, ..., k-1 zerfallen ist. Werden nun noch in gleicher Weise alle Kinder von X entfernt, so ist X vollständig isoliert und kann problemlos gelöscht werden. Dabei entsteht aus den Kindern für jedes j in {0, ..., x-1} jeweils genau ein Binomial-Baum der Ordnung j. Insgesamt bleibt also für jedes j aus {0, ..., k-1} ein Binomial-Baum der Ordnung j übrig. Diese Bäume bilden zusammen wieder einen Binomial-Heap, der mittels merge mit dem Rest des Heaps verschmolzen werden kann.

Das Abspalten des am weitesten links stehenden Elementes ist in konstanter Zeit möglich. Da der ursprüngliche Baum genau k mal aufgespalten wird, der Binomial-Heap aber mindestens 2k Elemente enthält, benötigt diese Operation im Worst-Case nur logarithmisch viel Zeit. Da das anschließende merge selbst auch nur logarithmisch viel Zeit benötigt ist auch die Gesamtlaufzeit im schlimmsten Fall logarithmisch zur Anzahl der Elemente im Heap.

Weitere Operationen

Die übrigen Operationen gestalten sich nun sehr einfach.

   Um ein neues Element einzufügen (insert), wird einfach ein neuer Heap erzeugt, der nur dieses eine Element enthält und dieser mittels merge mit dem eigentlichen Heap verschmolzen.
   Um ein Element mit minimalem Schlüssel zu entnehmen (extractMin), braucht lediglich das Minimum der Wurzeln gefunden zu werden, indem die Liste der Wurzeln einmal durchlaufen wird und das gefundene Element mit remove entfernt und zurückgegeben wird.
   Um den Schlüssel eines Elementes zu verändern (changeKey) wird dieses mit remove zunächst entfernt, dann dessen Schlüssel geändert und anschließend mit insert wieder eingefügt.

Pairing-heaps

wer wie was *clap* *clap*

Fibonacci-heaps

wieso wesshalb warum,

Übungsaufgaben