BuK-Übung04

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Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1

Satz 1: Eine Menge M ist genau dann aufzählbar, wenn sie semi-entscheidbar ist.

Teilaufgabe 1 (Jens Heider, Daniel Tasche, Felix Nitsche, Stefan Lüttke)

zu zeigen: Wenn M aufzählbar, dann M semi-entscheidbar.

Gegeben ist eine aufzählbare Menge. Daraus folgt, dass es eine Aufzählprozedur f für M gibt, welche die natürlichen Zahlen auf die Elemente von M abbildet. f : \N \mapsto M

zu zeigen: M ist semi-entscheidbar

Wenn M semi-entscheidbar ist, dann gibt es eine Prozedur \chi'_M, die für ein Wort aus der Menge M über dem Alphabet A^* wahr zurückgibt, wenn das Wort in der Menge enthalten ist und ansonsten ewig weiter läuft. \chi'_M(w) : A^* \mapsto \{\text{wahr}\}

\chi'_M(w) = \begin{cases} wahr; & \text{wenn } w \in M;\\ \bot; & sonst \end{cases}

Durch Verwendung der Prozedur f kann entschieden werden, ob ein gegebenes Element in der Menge M enthalten ist. Dabei wird f für jedes i; mit i \in \N aufgerufen, f(0), f(1), f(2), ... Ergibt f(i) das Wort, dann gibt \chi'_M wahr zurück, ansonsten läuft die Prozedur ewig weiter.

\chi'_M(w) = \begin{cases} wahr; & \text{wenn } f(i) = w; i \in \N;\\ \bot; & sonst \end{cases}

Teilaufgabe 2 (Tobias Salzmann, Ronald Krause, Robert Rosenberger, Stefan Scheumann)

ÜA: Vervollständigen Sie die Herleitung der Funktionen für x und y aus z = π(x, y) und geben Sie als Beispiel die Ermittlung von x und y aus z = π(1, 3) = 13 an.

Herleitung der Funktionen für x und y aus z = (x; y)

z =\frac{(x+y)(x+y+1)}{2} +y = t + y;
w = x + y;

x,y,z \in \N, w,t \in \R_{0}^{+}


t = z - y = \frac{w(w+1)}{2} = \frac{w^{2}+w}{2}

Die Lösung von w^{2} + w + 2t = 0

w_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} w_{1,2}=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+2t} w_{1,2}=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8t}{4}} w_{1,2}=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1+8t}{4}} w_{1,2}=-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{1+8t}}{2}

für positives w ist w_1 = \frac{\sqrt{8t+1}-1}{2}


Außerdem gilt:
t \leq z , weil z=t+y
z= t + w - x, weil z=t+y und y=w-x

z \leq t + w \leq t + w + 1 = \frac{w^{2}+w}{2} + w + 1 = \frac{(w+1)^{2} + (w+1)}{2}


Unter Verwendung von z \leq \frac{(w+1)^{2} + (w+1)}{2} können wir w nach oben abschätzen.

w = \frac{\sqrt{8t+1}-1}{2} \leq \frac{\sqrt{8z+1}-1}{2} \leq w+1


Für z wird \frac{(w+1)^{2} + (w+1)}{2} eingesetzt:

\frac{\sqrt{8\frac{(w+1)^{2} + (w+1)}{2}+1}-1}{2} \frac{\sqrt{8\frac{w^2+3w+2}{2}+1}-1}{2} \frac{\sqrt{\frac{8w^2+24w+16}{2}+1}-1}{2}

\frac{\sqrt{4w^2+12w+9}-1}{2} = \frac{\sqrt{(2w+3)^2}-1}{2} = \frac{2w+2}{2} = \frac{2(w+1)}{2} = w+1


Um die beiden natürlichen Zahlen x und y aus z zu gewinnen, ist als erstes w = \left\lfloor \frac{\sqrt{8z+1}-1}{2} \right\rfloor zu berechnen. Dann ergeben sich

t = \frac{w(w+1)}{2} und y = z -t sowie

x = w - y

Beispiel: Ermittelung von x und y aus z=\pi(1,3) = 13

w = \left\lfloor \frac{\sqrt{8z+1}-1}{2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\sqrt{8 \cdot 13+1}-1}{2} \right\rfloor = 4.623 = 4 y=13-\frac{w(w+1)}{2} = 13-\frac{4(4+v1)}{2} = 13 - 10 = 3 x=w-y = 4 - 3 = 1

Kritik an der Aufteilung Aufgabenstellung wird bis Dienstag 15:00 Uhr entgegen genommen und Bearbeitet ;-)

Aufgabe 2

Satz 2: Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar, aber nicht jede Teilmenge einer aufzählbaren Menge ist aufzählbar.

Teilaufgabe 1 - Beweis (Felix Nitsche, Stefan Lüttke)

zu zeigen: Jede Teilmenge M_2 einer abzählbaren Menge M_1 ist abzählbar. Wenn M_1 eine abzählbare Menge ist, dann ist jede Teilmenge M_2 \subseteq M_1 abzählbar.

Teilaufgabe 2 - Indirekter Beweis (Max Wielsch, Raik Bieniek)

zu zeigen: Nicht jede Teilmenge M_2 einer aufzählbaren Menge M_1 ist aufzählbar. Wenn M_1 eine aufzählbare Menge ist, dann gilt nicht für alle Teilmengen M_2 \subseteq M_1, dass sie aufzählbar sind.

Aufgabe 3 - Beweis (Jens Heider, Daniel Tasche)

Satz 3: Wenn die Menge M entscheidbar ist, dann ist M aufzählbar.

Aufgabe 4

Eine Menge M, mit M \subseteq A^* ist entscheidbar genau dann, wenn M und A^*\M aufzählbare Mengen sind.

Teilaufgabe 1 - Beweis Teil 1 (Ingo Körner, Christof Ochmann)

Hinrichtung des Satzes: Wenn M eine entscheidbare Menge ist, dann sind M und A^*\M aufzählbare Mengen.

Teilaufgabe 2 - Beweis Teil 2 (Tobias Salzmann, Ronald Krause)

zu zeigen: Wenn M und A^*\M aufzählbare Mengen sind, dann ist M eine entscheidbare Menge.

Teilaufgabe 3 - Illustration (Robert Rosenberger, Stefan Scheumann)

Illustrieren Sie den Beweis (Aufgabe 4.2) durch ein Scheme-Programm.

Bsp.:

(define M (generiere_aufzaehlbare_menge f))

(define A*-M (generiere_aufzaehlbare_menge g))

>(menge-bis M 10)

"1","3","5","7","9","11","13","15","17","19", \ldots

>(menge-bis a*-M 10)

"0","2","4","6","8","10","12","14","16","18", \ldots

>(chi_M "9199")

  1. t