BuK-Übung04

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Aufgabe 1

Behauptung: Eine Menge M ist genau dann aufzählbar, wenn sie semi-entscheidbar ist.

Teilaufgabe 1

zu zeigen: Wenn M aufzählbar, dann M semi-entscheidbar.

Gegeben ist eine aufzählbare Menge. Daraus folgt, dass es eine Aufzählprozedur f für M gibt, welche die natürlichen Zahlen auf die Elemente von M abbildet. f : \N \mapsto M

zu zeigen: M ist semi-entscheidbar

Wenn M semi-entscheidbar ist, dann gibt es eine Prozedur \chi'_M, die für ein Wort aus der Menge M über dem Alphabet A^* wahr zurückgibt, wenn das Wort in der Menge enthalten ist und ansonsten ewig weiter läuft. \chi'_M(w) : A^* \mapsto \{\text{wahr}\}

\chi'_M(w) = \begin{cases} wahr; & \text{wenn } w \in M;\\ \bot; & sonst \end{cases}

Durch Verwendung der Prozedur f kann entschieden werden, ob ein gegebenes Element in der Menge M enthalten ist. Dabei wird f für jedes i; mit i \in \N aufgerufen, f(0), f(1), f(2), ... Ergibt f(i) das Wort, dann gibt \chi'_M wahr zurück, ansonsten läuft die Prozedur ewig weiter.

\chi'_M(w) = \begin{cases} wahr; & \text{wenn } f(i) = w; i \in \N;\\ \bot; & sonst \end{cases}

Aufgabe 2 (Tobias Salzmann, Ronald Krause, Robert Rosenberger, Stefan Scheumann)

ÜA: Vervollständigen Sie die Herleitung der Funktionen für x und y aus z = π(x, y) und geben Sie als Beispiel die Ermittlung von x und y aus z = π(1, 3) = 13 an.

Herleitung der Funktionen für x und y aus z = (x; y)

z =\frac{(x+y)(x+y+1)}{2} +y = t + y;
w = x + y;

x,y,z \in \N, w,t \in \R_{0}^{+}


t = z - y = \frac{w(w+1)}{2} = \frac{w^{2}+w}{2}

Die Lösung von w^{2} + w + 2t = 0

w=-\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} w=-\frac{1}{2}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+2t} w=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8t}{4}} w=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1+8t}{4}} w=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{1+8t}}{2}

für positives w ist w = \frac{\sqrt{8t+1}-1}{2}


Außerdem gilt:
t \leq z , weil z=t+y
z= t + w - x, weil z=t+y und y=w-x

z \leq t + w \leq t + w + 1 = \frac{w^{2}+w}{2} + w + 1 = \frac{(w+1)^{2} + (w+1)}{2}


Unter Verwendung von z \leq \frac{(w+1)^{2} + (w+1)}{2} können wir w nach oben abschätzen.

w = \frac{\sqrt{8t+1}-1}{2} \leq \frac{\sqrt{8z+1}-1}{2} \leq w+1


Für z wird \frac{(w+1)^{2} + (w+1)}{2} eingesetzt:

\frac{\sqrt{8\frac{(w+1)^{2} + (w+1)}{2}+1}-1}{2} \frac{\sqrt{8\frac{w^2+3w+2}{2}+1}-1}{2} \frac{\sqrt{\frac{8w^2+24w+16}{2}+1}-1}{2}

\frac{\sqrt{4w^2+12w+9}-1}{2} = \frac{\sqrt{(2w+3)^2}-1}{2} = \frac{2w+2}{2} = \frac{2(w+1)}{2} = w+1


Um die beiden natürlichen Zahlen x und y aus z zu gewinnen, ist als erstes w = \left\lfloor \frac{\sqrt{8z+1}-1}{2} \right\rfloor zu berechnen. Dann ergeben sich

t = \frac{w(w+1)}{2} und y = z -t sowie

x = w - y

Beispiel: Ermittelung von x und y aus z=\pi(1,3) = 13

w = \left\lfloor \frac{\sqrt{8z+1}-1}{2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\sqrt{8*13+1}-1}{2} \right\rfloor = 4,623 = 4 y=13-\frac{w(w+1)}{2} = 13-\frac{4(4+1)}{2} = 13 - 10 = 3 x=w-y = 4 - 3 = 1