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Themenbereich 2

Aufgabe 6

Zeigen Sie, dass \mathbb{R} überabzählbar unendlich ist.

Hinweis: Es reicht schon aus zu zeigen, dass es im Intervall [0, 1] überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt.

Lösung:

Methode: Indirekter Beweis

Annahme: \mathbb{R} ist abzählbar unendlich.

Wenn dem so ist,

dann kann man die reelen Zahlen nacheinander auflisten.

n_{1} = 0, n_{11} n_{12} n_{13} n_{14} ...

n_{2} = 0, n_{21} n_{22} n_{23} n_{24} ...

n_{3} = 0, n_{31} n_{32} n_{33} n_{34} ...

n_{i} = 0, n_{i1} n_{i2} n_{i3} n_{i4} ...

Konstruktion einer Zahl x mit x \in [0 ; 1], die nicht in der Menge vorkommen kann:

x = 0, x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} ...

wobei x_{i} = (n_{ii} +1) mod 10 sein soll. Durch diese Definition wird ersichtlich, dass man immer eine Zahl x findet, die nicht innerhalb \mathbb{R} ist.

Wenn es immer eine Zahl x gibt, die nicht in der Menge ist, dann ist \mathbb{R} auch nicht abzählbar unendlich und damit überabzählbar unendlich.

Quelle: http://www.mathepedia.de/Ueberabzaehlbar_unendlich.aspx

Warum gilt 0,\bar{9} = 1?

(a) Es Gilt: \frac{1}{3} wird als 0,\bar{3} in Dezimalschreibweise dargestellt.

(b) Desweiteren gilt: 0,\bar{9} = 0,\bar{3}*3.

Wenn (a) und (b) gelten, so gilt auch: 0,\bar{9} = \frac{1}{3} * 3 = 1

Themenbereich 3

Aufgabe 1 (Felix Nitsche, Stefan Lüttke)

ÜA: Wie viele berechenbare charakteristische Funktionen gibt es? Hinweis: Potenzmenge unendlicher Mengen

Lösung:

Die Wortmenge A^* ist abzählbar unendlich. Für Jede der überabzählbar unendlich vielen Teilmengen M (entspricht Wörtern) gibt es eine Funktion \chi_{M} die entweder true oder false zurückgibt, was dazu führt das es ebenfalls überabzähbar unendlich viele Funktionen chi definiert werden können. Da es aber nur abzählbar unendlich viele Prozeduren gibt kann es auch nur abzählbar unendlich viele berechenbare Funktionen \chi_{M}.