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Aufgabe 3 (Ingo Körner, Christof Ochmann)
Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen abzählbar unendlich sind: \Z, \Q, die Menge der Primzahlen, die geraden Zahlen.
Für \Z:
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
| | 0 | 1 | -1 | 2 | -2 | 3 | ... |
Für \Q:
| \Z\$\N$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|
| | 1 | 1/1 | 1/2 | 1/3 | 1/4 | 1/5 | ... |
| | 2 | 2/1 | 2/2 | 2/3 | 2/4 | 2/5 | ... |
| | 3 | 3/1 | 3/2 | 3/3 | 3/4 | 3/5 | ... |
| | 4 | 4/1 | 4/2 | 4/3 | 4/4 | 4/5 | ... |
| | 5 | 5/1 | 5/2 | 5/3 | 5/4 | 5/5 | ... |
| | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
Es werden mit Hilfe des ersten Cantorschen Diagonalisierungsverfahren alle Zahlen erreicht.
Für die Menge der Primzahlen:
1. Die Menge der Primzahlen P ist unendlich (nach Satz von Euklid).
2. Die Menge der Primzahlen P ist abzählbar unendlich, da gilt: P \subset \N.
Für die Menge der geraden Zahlen:
1. Die geraden Zahlen G sind unendlich (per Definition) und abzählbar unendlich, da gilt: G \subset \Z.