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Aufgabe 6

Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.

Hinweis: Es reicht schon aus zu zeigen, dass es im Intervall [0, 1] überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt.

Lösung:

Methode: Indirekter Beweis

Annahme: Die Menge der reelen Zahlen ist abzählbar unendlich.

Daraus folgt: man kann sie nacheinander aufschreiben:

n_{1} = 0, n_{11} n_{12} n_{13} n_{14} ...

n_{2} = 0, n_{21} n_{22} n_{23} n_{24} ...

n_{3} = 0, n_{31} n_{32} n_{33} n_{34} ...

n_{i} = 0, n_{i1} n_{i2} n_{i3} n_{i4} ...

Konstruktion einer Zahl x mit x \in [0 ; 1], die nicht in der Menge vorkommen kann:

x = 0, x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} ... wobei x_{i} = (n_{ii} +1) mod 10 sein soll. Durch diese Definition wird ersichtlich, dass man immer eine Zahl x_{i} findet, die nicht innerhalb der Menge ist.

Quelle: http://www.mathepedia.de/Ueberabzaehlbar_unendlich.aspx