sistluet
Aufgabe 6
Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.
Hinweis: Es reicht schon aus zu zeigen, dass es im Intervall [0, 1] überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt.
Lösung:
Beweis durch indirekten Beweis
Annahme:
die Menge der Reelen Zahlen ist abzählbar unendlich.
daraus folgt: man kann sie nacheinander aufschreiben:
n_{1} = 0, n_{11} n_{12} n_{13} n_{14} ... n_{2} = 0, n_{21} n_{22} n_{23} n_{24} ... n_{3} = 0, n_{31} n_{32} n_{33} n_{34} ... . . . n_{i} = 0, n_{i1} n_{i2} n_{i3} n_{i4} ...Konstruktion einer Zahl x mit x \in [0 ; 1], die bisher nicht in der Menge vorkommt:
$ x = 0, x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} ... $ wobei
$ x_{i} = (n_{ii} +1) mod 10 $
sein soll. Durch diese Definition Entsteht ein Wiederspruch für alle i , womit bewiesen ist, das die reelen Zahlen überabzählbar ist.
Quelle: http://www.mathepedia.de/Ueberabzaehlbar_unendlich.aspx
Alternative:
Die Zahl Pi ist irrational. zieht man von Pi 3 ab, ist die dadurch entsehende Zahl nicht durch einen Bruch darstellbar.