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Aufgabe 6

Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.

Hinweis: Es reicht schon aus zu zeigen, dass es im Intervall [0, 1] überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt.

Lösung:

Beweis durch indirekten Beweis

Annahme:

die Menge der Reelen Zahlen ist abzählbar unendlich.

daraus folgt: man kann sie nacheinander aufschreiben:

$ n_{1} = 0, n_{11} n_{12} n_{13} n_{14} ... n_{2} = 0, n_{21} n_{22} n_{23} n_{24} ... n_{3} = 0, n_{31} n_{32} n_{33} n_{34} ... . . . n_{i} = 0, n_{i1} n_{i2} n_{i3} n_{i4} ... $ Konstruktion einer Zahl, die bisher nicht in der Menge vorkommt: x element [0 ; 1]

x = 0, x1 x2 x3 x4 ...

wobei

xi = (nii +1) mod 10

sein soll. Durch diese Definition Entsteht ein Wiederspruch für alle i , womit bewiesen ist, das die reelen Zahlen überabzählbar ist.

Quelle: http://www.mathepedia.de/Ueberabzaehlbar_unendlich.aspx

Alternative:

Die Zahl Pi ist irrational. zieht man von Pi 3 ab, ist die dadurch entsehende Zahl nicht durch einen Bruch darstellbar.