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Aufgabe 6

Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.

Hinweis: Es reicht schon aus zu zeigen, dass es im Intervall [0, 1] überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt.

Lösung:

Beweis durch indirekten Beweis

Annahme:

die Menge der Reelen Zahlen ist abzählbar unendlich.

daraus folgt: man kann sie nacheinander aufschreiben:

n1 = 0, n11 n12 n13 n14 ... n2 = 0, n21 n22 n23 n24 ... n3 = 0, n31 n32 n33 n34 ... . . . ni = 0, ni1 ni2 ni3 ni4 ...

Konstruktion einer Zahl, die bisher nicht in der Menge vorkommt: x element [0 ; 1]

x = 0, x1 x2 x3 x4 ...

wobei

xi = (nii +1) mod 10

sein soll. Durch diese Definition Entsteht ein Wiederspruch für alle i , womit bewiesen ist, das die reelen Zahlen überabzählbar ist.

Quelle: http://www.mathepedia.de/Ueberabzaehlbar_unendlich.aspx

Alternative:

Die Zahl Pi ist irrational. zieht man von Pi 3 ab, ist die dadurch entsehende Zahl nicht durch einen Bruch darstellbar.