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Archivierte Version vom 2012-03-18T09:55:22+00:00. Aktuelle Version

Inhaltsverzeichnis

Indirekte Beweis

Aufgabe 1

Beweisen Sie indirekt, dass x eine gerade Zahl ist, wenn x^2 mit x\in{\mathbb N} eine gerade Zahl ist.

z.z. Wenn 2\mid x , dann 2\mid x^2 .

Beispiel:

x = 4 \Rightarrow 2\mid 4 x^2 = 16 \Rightarrow 2\mid 16

Annahme: Wenn 2\mid x^2 , dann 2\nmid x

Beweis:

x ungerade: x = 2k + 1

x^2 gerade: x = 2z

(2k+1)^2 = 2z

4k^2+2k+1 = 2z \Rightarrow linke Seite ist ungerade, rechte Seite ist gerade \lightning (Paket stmaryrd fehlt)

Aufgabe 2

Beweisen Sie die Aussage, wonach aus der Gültigkeit der Aussagen A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und \overline{C} die Gültigkeiten von \overline{A} und \overline{B} folgen. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Wahrheitstabelle dar.

ABC\overline{A}\overline{B}\overline{C}A \Rightarrow BB \Rightarrow C
| wwwfffww
| wwfffwwf
| wfwfwffw
| wfffwwfw
| fwwwffww
| fwfwfwwf
| ffwwwfww
| fffwwwww

Die Spalten \overline{C}, A \Rightarrow B und B \Rightarrow C werden nur in Zeile 8 wahr, in denen auch \overline{A} und \overline{B} wahr sind.

Aufgabe 3

Was kann man über die Gültigkeit von A und B schließen, wenn bekannt ist, dass A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und C gelten? Verwenden Sie die Tabelle aus der vorhergehenden Aufgabenlösung.

Es gelten entweder beide, keins oder nur B. (Zeile 1, 5 und 7)

Vollständige Induktion

Beweisen Sie die folgenden Beziehungen für Fibonacci-Zahlen nach Definition in obigem Beispiel mittels vollständiger Induktion für n \in \N und n \geq 1

Aufgabe 1

\sum\limits_{k=1}^{n} F_{k} = F_{n+2} - 1

IA:

$ n = 1 \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{1} F_{k} = F_{3} - 1 \Rightarrow 1 = 1 $

IS:

Wenn \sum\limits_{k=1}^{i} F_{k} = F_{i+2} - 1 gilt (IV), dann gilt auch \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{k} = F_{i+3} - 1 (IB).

\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{k} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{k} + F_{i+1} = F_{i+2} - 1 + F_{i+1} = F_{i+3} - 1 \Box

Aufgabe 2

\sum\limits_{k=1}^{n} F_{2k} = F_{2n+1} - 1

IA:

$ n = 1 \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{1} F_{2k} = F_{3} - 1 \Rightarrow 1 = 1 $

IS:

Wenn \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k} = F_{2i+1} - 1 gilt (IV), dann gilt auch \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{2k} = F_{2(i+1)+1} - 1 = F_{2i+3} - 1 (IB).

\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{2k} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k} + F_{2(i+1)} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k} + F_{2i+2} = F_{2i+1} - 1 + F_{2i+2} = F_{2i+3} - 1 \Box

Aufgabe 3

\sum\limits_{k=1}^{n} F_{2k-1} = F_{2n}

IA:

$ n = 1 \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{1} F_{2k-1} = F_{2} \Rightarrow 1 = 1 $

IS:

Wenn \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k-1} = F_{2i} gilt (IV), dann gilt auch \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{2k-1} = F_{2(i+1)}= F_{2i+2} (IB).

\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{2k-1} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k-1} + F_{2(i+1)-1} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k-1} + F_{2i+1} = F_{2i} + F_{2i+1} = F_{2i+2} \Box

Relation

Wiederholen Sie die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen und geben Sie ein Beispiel an.

Funktionen


Übungsaufgabe partielle Funktion

Die im Folg. definierte Funktion q : \R \mapsto \R ist an der Stelle x=3 undefiniert. Hierfür verwenden wir das Symbol \bot.

q(x)=\begin{cases} \dfrac{35}{x-3}, & \text{wenn }x \neq 3\text{;}\\ \bot, & \text{sonst.} \end{cases}

Schreiben Sie ein Programm, das q berechnet.





Aufgabe 2
Geben Sie sich einige Defnitionsbeispiele selbstgewählter Funktionen vor. Achten Sie darauf, dass es sich auch um (echte) partielle Funktionen handeln kann. Außerdem sollten Sie einige abschnittsweise definierte Funktionen, z.Z. Zuzahlungen für Medikamente usw., aufnehmen.
Aufgabe 3
Wiederholen Sie die folgenden Eigenschaften von Funktionen: injektiv, surjektiv und bijektiv. Geben Sie aussagekräftige Beispiele an. Skizzieren Sie folgende Funktionen mittels Abbildungspfeilen aus X in Y : injektiv und surjektiv; injektiv, nicht surjektiv; nicht injektiv, surjektiv; nicht injektiv, nicht surjektiv.
Mengen
Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass die Menge \Z eine abzählbar unendliche Menge ist und setzen Sie sich mit der Aussage auseinander, wonach doch \Z eigentlich doppelt so viele Elemente besitzt, wie \N.
Aufgabe 2 (Potenzmenge)
Entwerfen Sie ein Aufbauschema zur systematischen Erzeugung aller Elemente aus \wp(M) für eine gegebene endliche Menge M und wenden Sie es auf einige selbstgewählte Beispiele an.