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Inhaltsverzeichnis

Übung 1

Vollständige Induktion

Beweisen Sie die folgenden Beziehungen für Fibonacci-Zahlen nach Definition in obigem Beispiel mittels vollständiger Induktion für n \in \N und n \geq 1

Aufgabe 1

\sum\limits_{k=1}^{n} F_{k} = F_{n+2} - 1

IA:

$ n = 1 \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{1} F_{k} = F_{3} - 1 \Rightarrow 1 = 1 $

IS:

Wenn \sum\limits_{k=1}^{i} F_{k} = F_{i+2} - 1 gilt (IV), dann gilt auch \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{k} = F_{i+3} - 1 (IB).

\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{k} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{k} + F_{i+1} = F_{i+2} - 1 + F_{i+1} = F_{i+3} - 1

Aufgabe 2

\sum\limits_{k=1}^{n} F_{2k} = F_{2n+1} - 1

IA:

$ n = 1 \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{1} F_{2k} = F_{3} - 1 \Rightarrow 1 = 1 $

IS:

Wenn \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k} = F_{2i+1} - 1 gilt (IV), dann gilt auch \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{2k} = F_{2(i+1)+1} - 1 = F_{2i+3} - 1 (IB).

\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{2k} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k} + F_{2(i+1)} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k} + F_{2i+2} = F_{2i+1} - 1 + F_{2i+2} = F_{2i+3} - 1

Aufgabe 3

\sum\limits_{k=1}^{n} F_{2k-1} = F_{2n}

IA:

$ n = 1 \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{1} F_{2k-1} = F_{2} \Rightarrow 1 = 1 $

IS:

Wenn \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k-1} = F_{2i} gilt (IV), dann gilt auch \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{2k-1} = F_{2(i+1)}= F_{2i+2} (IB).

\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{2k-1} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k-1} + F_{2(i+1)-1} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k-1} + F_{2i+1} = F_{2i} + F_{2i+1} = F_{2i+2}

Funktionen

Übungsaufgabe partielle Funktion

Die im Folg. definierte Funktion q : \R \mapsto \R ist an der Stelle x=3 undefiniert. Hierfür verwenden wir das Symbol \bot.

q(x)=\begin{cases} \dfrac{35}{x-3}, & \text{wenn }x \neq 3\text{;}\\ \bot, & \text{sonst.} \end{cases}

Programm, das q berechnet: