Motivation SS12
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Algorithmen zur Multiplikation
Multiplikation großer Zahlen
Es gibt eine bessere Methode zur Multiplikation zweier natürlicher Zahlen als die, die in der Schule gelehrt wird.
Was bedeutet "besser" und warum ist das wichtig?
- Ein besserer Multiplikationsalgorithmus benötigt weniger Zeit als andere Verfahren mit gleichem Resultat.
- Dadurch können alle Operationen, die große ganze Zahlen multiplizieren, viel schnelle durchgeführt werden. Beispiele sind: Computeralgebrasysteme und Geometrieprogramme.
- Konsequenzen hat das auch für die Kryptografie.
Primitive Basisoperationen
Wir gehen davon aus, dass die folgenden beiden Elementaroperationen vorhanden sind und für die entsprechenden Eingaben stets mit konstantem Zeitaufwand ausgeführt werden.
- Addition dreier Ziffern (sog. Volladdierer)
Eingaben: x und y sowie der Übertrag c
Resultat: zwei Ziffern, nämlich die Ergebnisziffer und der neue Übertrag - Multiplikation zweier Ziffern
Eingaben: x und y
Resultat: zwei Ziffern, nämlich die Ergebisziffer und der Übertrag
Für die beiden Operationen wird im Folg. je eine Scheme-Prozedur prim-add und prim-mult definiert. In diesen Definition wird die Basis B der Zahlendarstellung durch den Wert der Variablen basis festgelegt. Die Voreinstellung ist B=10. Für den Fall, dass ein anderes Stellenwertsystem verwendet werden soll, ist diese Angabe anzupassen.
Die primitive Addition zweier Ziffern und eines Übertrags liefert ein Paar, dessen erstes Element die Einerstelle und das zweite den neuen Übertrag darstellt. Beispielsweise wird für 7+8+0=15 das Paar (5 . 1) zurück gegeben.
Ein weiteres Aufrufbeispiel gilt der Multiplikation 9\cdot 8=72:
Da die beiden primitiven Operationen mit komplexeren Scheme-Sprachelementen definiert wurden, macht es keinen Sinn, zur Aufwandsanalyse darauf aufbauender Operationen eine Zeitmessung durchzuführen. Sinnvoll ist es, die Gesamtanzahl der Aufrufe primitiver Basisperationen zu ermitteln. Hierfür wird eine globale Variable anzahl-prim-op als Zähler bereitgestellt und mit 0 initialisiert.
Hinweis
Es ist zu beachten, dass anzahl-prim-op bei jedem Prozeduraufruf mit 0 initialisiert wird.
Addition und Multiplikation n-stelliger natürlicher Zahlen
Die Stelligkeit n einer natürlichen Zahl ist eine Eigenschaft, die von deren Darstellung abhängt. Bereits in der Grundschule lernt man eine Methode zur Zahldarstellung durch die entsprechenden Ziffern in einem Stellenwert- oder Positionssystem mit einer gewählten Basis B. Typische Beispiele sind B=10 (Dezimalsystem), B=2 (Dualsystem) und B=16 (Hexadezimalsystem).
Die allgemeine Darstellung ist:
a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_1 a_0 = \sum_{i=0}^{n-1} a_i \cdot B^i, \text{ mit } n\in\mathbb{N}, n>0, \text{ und } a_i\in\{0,1,\ldots,B-1\}Für B=2 gilt a_i\in\{0,1\}. Für B=10 gilt a_i\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. Für B=16 gilt a_i\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\}.
Mit zwei Ziffern können alle Zahlen aus dem Intervall [0,B^2-1] dargestellt werden, denn (B-1)\cdot B^1+(B-1)\cdot B^0=(B+1)\cdot (B-1)= B^2-1.
Wir führen nun die Addition und Multiplikation n-stelliger Zahlen auf diese primitiven Operationen zurück.
Addition zweier n-stelliger natürlicher Zahlen
Beispiel: n=7
Typische Handrechnung Ausführlich: mit Übertrag
1827634 a 1827634 a
8294678 b 8294678 b
-------- 11111110 c (Übertrag)
10122312 s --------
10122312 sJetzt ist klar, weshalb die primitive Addition für zwei Ziffern und eine Übertragsziffer ausgelegt wurde. Für die Addition a_i+b_i+c_i=s_i ergibt sich ein Übertrag c_{i+1}=B, wenn s_i\geq B. Nehmen wir die größtmöglichen Summanden B-1 und B-1, gilt a_i+b_i-B=(B-1)+(B-1)-B=B-2, was offensichtlich mit einer Ziffer aus [0,B-1] darstellbar ist.
Die Operation add kann nun angewandt werden, um die obige simple Beispielrechnung auszuführen. Die Ziffern finden sich als Elemente einer Liste wieder:
Für die Addition zweier n-stelliger Zahlen werden n Elementaradditionen benötigt. Auch dies gilt für das Beispiel.
ÜA: Modifizieren Sie das Beispiel und evaluieren Sie die zugehörigen Additionen usw.