moderne Verfahren
Das RSA-Verfahren
Bei diesem Verfahren gibt es öffentliche und geheime Schlüssel.
Die Sicherheit dieses Verfahrens beruht darauf, dass die Mathematik bisher noch keine Formel gefunden hat, mit der Primzahlen einfach und schnell berechnet werden können. Nach wie vor stehen hier nur Probiermethoden zur Verfügung. Aufgrund der großen Anzahl der Zahlenwerte führt dieses Probieren bei langen Schlüsselwerten nicht mehr in vernünftiger Zeit zum Ergebnis.
In diesem Zusammenhang wird von sogenannten Einwegfunktionen gesprochen, die in einer Richtung einfach anzuwenden, in anderer Richtung (Umkehrung) gar nicht oder extrem schwierig funktionieren.
- Primzahlen 41 und 211: Produkt einfach zu bestimmen: 8651
- Aus dem Produkt 8651 sind die Primzahlen durch Faktorisieren schwer zu ermitteln! Dies wird umso schwieriger, je größer die zu faktorisierende Zahl ist!
- man wähle zwei möglichst große Primzahlen p und q Wissenswertes zu Primzahlen unter http://www.primzahlen.de/
- Verschlüsseln mit öffentlichem Schlüssel (e, N), wobei N = p * q und e eine beliebige Zahl ist aber teilerfremd zu (p - 1)*(q - 1)
- Entschlüsseln mit privatem Schlüssel d, den man aus d*e = 1 mod ((p - 1)*(q - 1)) erhält
Das Grundprinzip
'''Es gelten also die Formeln:
- für das Verschlüsseln der Nachricht M zum chiffrierten Text C: C = M^e(mod N)
- sowie für das Dechiffrieren von C in die Ausgangsnachricht M: M = C^d(mod N)
Ein Beispiel:
Bob will an Alice eine Nachricht schicken.
Alice hat einen öffentlichen Schlüssel wie folgt gewählt:
Die Primzahlen seien p=17 und q=11.
Damit ist N=187, für e wird 7 gewählt. Dieser Schlüssel wird veröffentlicht.
Es soll die Nachricht XMAS gesendet werden. Dazu müssen die Buchstaben in ASCII-Code umgewandelt werden.
Betrachten wir zunächst das X, so wird diese in ASCII durch 1011000 dargestellt. Dies entspricht der Dezimalzahl 88, damit sei die (Teil-)Nachricht M=88.
Ascii-Listen finden sich z.B. unter http://www.torsten-horn.de/techdocs/ascii.htm oder http://www.asciitable.com/
Für die Verschlüsselung ergibt sich nun C = 88^7(mod 187)
Dies ist 11 (nachprüfen!), damit schickt Bob die geheime Nachricht C=11 an Alice.
Nur wer die passenden Primzahlen kennt, mit denen der öffentliche Schlüssel erzeugt wurde, kann die Botschaft entschlüsseln. Das ist allein Alice.
Ihr privater Schlüssel folgt aus
d*e = 1 mod ((p - 1)*(q - 1))
d*7 = 1 mod (16*10)
d*7 = 1 mod (160))
d = 23, weil 23*7 = 161(!?)
Nun braucht nur noch die Nachricht entschlüsselt werden:
M = C^d(mod N)
M = 11^2^3(mod 187)
M = 88 = X.
Aufgabe:
Verschlüsseln Sie den Rest der Nachricht XMAS und geben Sie Ihre Lösung in der Box unter writeln( 'hier' ) ein.
Betätigen Sie den speichern & ausführen Schaltfläche!