Greedy-Algorithmen SS11

Autoren:

• Stefan Brandt (s3stbran@stud.hs-zigr.de)
• Sascha Demuth (s3sademu@stud.hs-zigr.de)

Idee

Bei vielen Optimierungsproblemen ist eine Verwendung der dynamischen Programmierung zur Bestimmung der besten Wahl übertrieben. Dann genügen einfachere, effizientere Greedy-Algorithmen. Greedy bedeutet gefräßig - eine gefräßige Strategie, die nach der Methode "Nimm immer den besten Happen, den du kriegen kannst." arbeitet.

Diese Methode ist recht leistungsfähig und deshalb arbeiten Greedy-Algorithmen für einen großen Bereich von Problemen gut.

Aber was ist nun der beste "Happen"? Greedy-Algorithmen treffen die Entscheidung rechnerisch auf der Basis lokaler Information, d.h. ohne Rückgriff auf Werte, die für frühere Situationen ermittelt wurden. Dadurch resultiert, dass keine Tabelle, die alle Teilproblemlösungen bereithält, mitgeführt wird, wie das beim dynamischen Programmieren der Fall ist.

Außerdem wird eine einmal getroffene Entscheidung nicht korrigiert. Es gibt kein Zurücknehmen und Erproben von Alternativen wie beim systematischen Probieren mit Backtracking.

Der Aufwand eines solchen Verfahrens ist sicher nicht exponentiell. Allerdings stellen wir die universelle Anwendbarkeit dieses "Superverfahrens" stark in Frage, da wir uns um effiziente Algorithmen bemühen.

Greedy-Algorithmen brauchen für die Auswahl des besten "Happens" eine vorsortierte Kandidatenliste. Neu aufzunehmende Elemente werden immer gleich an der richtigen Stelle eingefügt, so dass die Sortierung erhalten bleibt.

Der zugehörige Datentyp ist eine Prioritätswarteschlange (priority queue), die wir bereits bei Verzweigen und Beschränken behandelt haben.

Bruchteilrucksackproblem

Aufbau von Greedy-Algorithmen

Im Allgemeinen bestehen Greedy-Algorithmen aus den folgenden Bestandteilen:

• eine (sich verbrauchende) Kandidatenliste
• eine (sich aufbauende) Resultatliste
• eine Funktion loesung?, die überprüft, ob die aktuelle Resultatliste eine (nicht unbedingt optimale) Lösung des Problems darstellt
• eine Funktion okay?, die überprüft, ob die Erweiterung einer Resultatliste durch den nächsten Kandidaten zulässig ist
• eine Auswahlfunktion naechster, die aus der Kandidatenliste den jeweils besten "Happen" auswählt
• eine Modifikationsfunktion modify+, die die Kandidatenliste im positiven Fall verändert, demzufolge wenn die Erweiterung zu einer zulässigen Liste führt
• eine Modifikationsfunktion modify-, die die Kandidatenliste im negativen Fall verändert, also wenn die Erweiterung zu einer unzulässigen Liste führt
• eine Funktion ziel, die den Wert einer Lösung angibt

In SCHEME können wir eine Prozedur angeben, die eine Struktur aufweist, die für alle Greedy-Algorithmen unverändert übernommen werden kann. An den durch Punkte gekennzeichneten Stellen werden die Werte eingefügt, die dann den jeweils entsprechenden Algorithmus spezifizieren. Eine solche Prozedur wird demnach wie eine Schablone, ein sog. Template, benutzt.

(define greedy
 (lambda (vorgabewert) ; z.B.: Kapazitaet der Rucksacks
  (let
      ((kandidatenliste '(......))
       (loesung? (lambda (ls) ... ))
       (okay? (lambda (ls) ... ))
       (naechster (lambda (ls) ... ))
       (modify+ (lambda (x ls) ... ))
       (modify- (lambda (x ls) ... ))
       (ziel (lambda (ls) ... ))
   (letrec
        ((helfer
           (lambda (kandidaten resultat)
            (cond
             ((loesung? resultat)(ziel resultat))
             ((and (null? kandidaten)(not (loesung? resultat)))
              (error 'greedy "Es gibt keine Loesung."))
             (else
              (let* ((neuer-kandidat (naechster kandidaten))
                     (neues-resultat (cons neuer-kandidat resultat)))
                 (if (okay? neues-resultat)
                     (helfer (modify+ neuer-kandidat kandidaten) neues-resultat)
                     (helfer (modify- neuer-kandidat kandidaten) resultat))))))))
        (helfer kandidatenliste '())))))

Beispiel Geldwechsel

Die Verwendung dieser Greedy-Schablone illustrieren wir am folgenden Beispiel der Prozedur geldwechsel.

Einem Kunden wird Wechselgeld herausgegeben, wobei möglichst wenige Münzen verwendet werden sollen.

• Die Kandidatenliste besteht aus allen verfügbaren Euro-Münzen (1-, 2-, 5-, 10-, 20-, 50-Cent und 1- und 2-Euro-Münzen), die wir seit 01.01.2002 zusammen mit den Euro-Scheinen in Europa als Zahlungsmittel benutzen. Die Münzen werden mit absteigendem Cent-Wert vorsortiert.
• loesung? gibt #t zurück, wenn die Summe der verwendeten Münzen genau den auszuzahlenden Betrag ergibt.
• okay? gibt an, wenn eine Menge ausgewählter Münzen okay ist, wenn deren Summe höchstens dem zu zahlenden Betrag entspricht.
• Ist dies nicht der Fall, wird dieser Wert aus der Liste der (aussichtsreichen) Kandidaten entfernt. Dies erledigt die Prozedur modify-.
• modify+ lässt die Kandidatenliste unverändert. Dadurch wird erreicht, dass sich potenziell unendlich viele Münzen jeden Wertes in der Kandidatenliste befinden, so dass jeder beliebige Restbetrag immer ausgezahlt werden kann.
• Die Prozedur naechster wählt unter den verbleibenden Münzen die jenige mit dem jeweils höchsten Wert aus, ganz gleich, ob damit der zu zahlende Betrag überschritten wird oder nicht. (Dafür gibt es ja okay?) Es wird immer das erste Element zurückgegeben, da zu jedem Zeitpunkt die Kandidatenliste absteigend sortiert ist.
• Die Funktion ziel gibt die Liste der verwendeten Münzen zurück.

Die Prozedur wird benutzt um 12,93 Euro (1293 Euro-Cent) herauszugeben.

Verschiedene Greedy-Algorithmen

Allgemeines zur Graphentheorie

Ein Graph ist eine mathematische Struktur, die aus Knoten und Kanten besteht. Diese Knoten können durch Kanten verbunden werden. Jede Kante verbindet in der Regel zwei Knoten miteinander. Die Kanten können, je nach Problemstellung, gerichtet oder ungerichtet, bewertet (gewichtet) oder unbewertet (ungewichtet) sein.

Eigenschaften des Graphen:

• gerichtet - wenn die Kanten einseitig gerichtete Pfeile sind
• ungerichtet - wenn die Kanten in beide Richtungen gelten
• bewertet - ist wenn jeder Kante ein Wert zu geordnet wird
• unbewertet' - ist wenn keiner Kante ein Wert zu geordnet wird
• zusammenhängend - ist, wenn von jedem Knoten zu jedem anderen Knoten ein Weg vorhanden ist
• Ein Graph ohne Zyklen entspricht einem Baum.
• Ein aufspannender Baum ist ein Teil des Graphen, der alle Knoten enthält, aber nur so viele Kanten besitzt, dass er einen Baum bildet.

Dijkstra-Algorithmus

Edsger W. Dijkstra auf Wikipedia

Kruskal-Algorithmus

Joseph Kruskal auf Wikipedia

Prim-Algorithmus

Literatur und andere Quellen

• Th. H. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. Rivest, C. Stein: Algorithmen - Eine Einführung, 2.Auflage, Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH 2007, ISBN 978-3-486-58262-8

• Volker Heun: Grundlegende Algorithmen - Einführung in den Entwurf und die Analyse effizienter Algorithmen, 2. Auflage, Vieweg+Teubner Verlag 2003, ISBN 978-3528131401

• Ch. Wagenknecht: Algorithmen und Komplexität, 1.Auflage, Carl Hanser Verlag 2003, ISBN 3-446-22314-2