Teile und Herrsche 1 SS11

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Die Idee

Teile und Herrsche

Bei der systematischen Programmentwicklung und für die unmittelbare Ableitung von Aufwandsaussagen sind verschiedene Entwurfsmethoden für Algorithmen hilfreich. Zu den Entwurfsmethoden gehören zum Beispiel:

  1. Teile und Herrsche
  2. Greedy-Algorithmen
  3. dynamisches Programmieren

Teile und Herrsche (engl. "divide and conquer", lat. "divide et impera") ist die Entwurfsmethode für Algorithmen die wir nachfolgend genauer betrachten wollen.

Diese Methode hat seinen Ursprung als Redewendung und Strategie in der Kriegsführung. Bereits um 500 v. Chr. erwähnte Sunzi, ein chinesischer General sinngemäß "Teile und Herrsche" als Stratgie der chinesischen Kriegskunst. Mit divise pour régner (frz. für "teilen, um zu herrschen") wurde sie als Ausspruch des frz. Königs Ludwig XI. (*1423 †1483) bekannt. Des Weiteren ist die Strategie in der römischen Außenpolitik zu Zeiten Julius Caesars wieder zu erkennen. In Bezug auf Kriegsführung besteht die Taktik darin, die Gegner durch gezieltes gegeneinander Ausspielen in kleine Gruppen zu spalten und somit leichter besiegen zu können.

Das Prinzip ist in der Informatik das Gleiche/ Selbe (!?), wenn auch weniger grausam. Die Methode löst Probleme, indem es

  1. in Teilprobleme zerlegt wird ("divide")
  2. die Teilprobleme gelöst und
  3. die Lösungen der Teilprobleme wieder zusammengesetzt werden ("conquer").

Effizienzbetrachtung von Teile und Herrsche

Wir wollen feststellen ob mit Algorithmen, die nach der Methode "divide and conquer" entworfen wurden, eine Effizienzverbesserung erzielt werden kann. Wir betrachten einen Algorithmus A der unser Problem in \mathcal{O} \left( n \right) , d.h mit T_A \left(n\right) \leq c \cdot n^2 löst. Unser Algorithmus T_B bearbeitet drei Probleme der Größe \frac{n}{2} mittels Prozedur A . Der Gesamtaufwand T_B fasst die Teillösungen mit einem Aufwand \mathcal{O} \left( n \right) zusammen.


\begin{array}{ccl} T_B \left( n \right) & = & 3 \cdot T_A \cdot\left(\left\ \lceil\frac{n}{2}\right\ \rceil \right) + d \cdot n\\\\ & \leq & 3 \cdot c \cdot \left( \frac{n+1}{2}\right) ^2 + d \cdot n\\\\ & \leq & 3 \cdot c \cdot \left( \frac{n+1}{2}\right) \left( \frac{n+1}{2}\right) +d \cdot n\\\\ & \leq & 3 \cdot c \cdot \left( \frac{n^2 + 2n + 1}{4}\right) + d \cdot n\\\\ & \leq & 3 \cdot c \cdot \left( \frac{n^2}{4} + \frac{2n}{4} + \frac{1}{4}\right) + d \cdot n\\\\ & \leq & \frac{3cn^2}{4} + \frac{6cn}{4} + \frac{3c}{4} + d \cdot n\\\\ & \leq & \frac{3}{4}cn^2 + \frac{3}{2}cn + \frac{3}{4}c + d \cdot n\\\\ & \leq & \frac{3}{4}cn^2 + \left(\frac{3}{2}c + d\right) \cdot n + \frac{3}{4} c\\\\ \end{array}


Das Ergebnis zeigt, dass eine Effizienzverbesserung von 25 % festgestellt werden kann. Der Aufwand ist jedoch nach wie vor quadratisch, wie der Exponent der Funktion zeigt. Das bedeutet, dass für größere n keine große Verbesserung in der Effizienz erzielt werden kann. Die Betrachtung eines Algorithmus C , der die drei Teilprobleme mit Rekursion löst, verdeutlicht, dass wir uns mit diesem Ergebnis nicht zufrieden geben müssen. Der Basisfall n \leq n_0 wird weiterhin vom Algorithmus A übernommen. Es entstehen folgende Aufwandsziehungen:

T_C \left( n \right) =\begin{cases} T_A \left( n \right), & \text{wenn } \ n \ \leq \ n_0, \\ 3 \cdot T_C \left( \frac{n}{2}\right), & \text{sonst } \end{cases}

Diese Rekursionsgleichung lösen wir mit dem 1. Fall der Meistermethode.


\begin{array}{ccl} T_C \left( n \right) & = & 3 \cdot T_C \left( \frac{n}{2} \right)\\\\ & = & n^{log_2 3}\\\\ & = & n^{1,59}\\\\ & = & \mathcal{O}\left( n^{1.59} \right) \end{array}


Die Lösung zeigt, dass durch eine rekursive Lösung die Effizienz dem quadratischen Aufwand gegenüber deutlich verbessert werden kann. Dies veranschaulicht, dass Teile-und-Herrsche-Verfahren immer rekursive Lösung der gebildeten Teilprobleme enthalten müssen. Die Teilprobleme haben eine geringere Problemgröße bei gleicher Problematik, als das zu lösende Ausgangsproblem. Zur rekursiven Lösung gehört ein allgemeiner Fall, wie auch ein Basisfall. Je nach Problem kann aber auch mehrere Basisfälle geben.

Quicksort

Verfahren

Funktionsorientierte Beschreibung

Effizienzbetrachtung von Quicksort


Mergesort

Verfahren

Funktionsorientierte Beschreibung

Effizienzbetrachtung von Mergesort

Quellenverzeichnis

Divide et Impera