BuK-Kreativaufgabe02 G2

Hilbertbus

Das Hilberthotel und der Hilbertbus gehen auf Betrachtungen des Mathematikers David Hilbert (1862-1943) zurück. Sie werden benutzt, um zu veranschaulichen, welche Unterschiede sich im Umgang mit (abzählbar) unendlich großen Mengen gegenüber den dem Menschen viel vertrauteren endlichen Mengen ergeben.
So wird angenommen, dass das Hilberthotel über abzählbar unendlich viele Zimmer verfügt und ein Hilbertbus unendlich viele Gäste zum Hotel bringen kann.
Das Problem, welches letzlich entsteht, liegt in der Zuordnung von Gast und Zimmer. Leicht zu verstehen ist die Verfahrensweise beim Eintreffen einzelner Gäste oder Gruppen mit endlich vielen Personen. Man merkt sich das zuletztvergebene Zimmer und weist neuen Gästen die entsprechenden nachfolgenden Zimmer zu. Ebenso verfährt man beim Eintreffen des ersten Hilbertbuses mit unendlich vielen Gästen. Der erste Fahrgast bekommt das nächste freie Zimmer, der zweite Fahrgast das übernächste und so weiter.
Da stellen sich schon die ersten Fragen. Das Hotel hat unendlich viele Zimmer und angenommen es hatten bereits 10 Gäste eingecheckt als der Bus ankam. Sind nun mehr als unendlich viele Gäste im Hotel? Hat wirklich jeder Businsasse ein Zimmer beziehen können?
Betrachten wir aber gleich ein neues Szenario. Ein weiterer Gast fragt nach einem Zimmer. Welches ist aber nun das letzte Zimmer, um dessen Nachfolger zu ermitteln? Ist das Hotel ausgebucht?
Erläuterungen, wie diese Probleme umgangen werden können, so dass keine Gäste abgewiesen werden müssen, finden sich u.a. auf folgender Seite TODO. Dabei werden die Hotelgäste aufgefordert in andere Zimmer umzuziehen. Die Zuweisung der neuen Zimmernummer erfolgt dabei durch eine relative Angabe zur aktuellen. (wie ziehe 3 Zimmer weiter)
Da ein Zimmerwechsel eine unangenehme Belastung für einen Hotelgast darstellen kann, möchten wir hier einen anderen Weg der Zimmerzuteilung beschreiben.
Das obige Modell geht davon aus, dass die Zimmernummern mit Hilfe der natürlichen Zahlen gebildet werden. Wir verwenden in unserem Hotel Zimmernummern aus der Menge der rationalen Zahlen. Das ist möglich, da es sich dabei, wie im ersten Modell, ebenfalls um eine abzählbar unendliche Menge handelt (TODO_Verweis Beweis). Unser Hotel hat demnach die gleiche Größe und besitzt unendlich viele Stockwerke, die jeweils unendlich viele Zimmer umfassen. Der Nenner der Zimmernummer gibt das Stockwerk an und der Zähler bezeichnet den zugehörigen Raum. Die Zahl \frac{3}{4} gibt damit an, dass es sich hierbei um das 3. Zimmer im 4. Stock handelt. Also alles wie gehabt nur eine neue Beschriftung der Zimmer.