BuK-Übung02 G2

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Archivierte Version vom 2011-03-28T21:01:49+00:00. Aktuelle Version

Inhaltsverzeichnis

Halteproblem

Aufgabe

Lösung





Beweise
Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist.
Lösung
Eine Menge ist dann abzählbar unendlich wenn sie gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen \mathbb{N} ist. Mit Cantors erstes Diagonalargument lässt sich zeigen, dass die unendliche Menge der rationalen Zahlen \mathbb{Q} gleichmächtig mit der Menge der natürlichen Zahlen \mathbb{N} ist.
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass die Wortmenge A^{\ast} über A abzählbar unendlich ist.
Lösung
Gegeben sei ein Alphabet A mit den Elementen \{a_1,a_2,a_3\ldots,a_n\}.
Aufgabe 3
Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.
Lösung
Durch Widerspruch kann gezeigt werden, dass die Menge der reellen Zahlen \mathbb{R} überabzählbar unendlich ist. Für den Beweis wird das offene Intervall (0,1)  betrachtet was eine echte Teilmenge der reellen Zahlen darstellt.

Annahme: Die Menge der reellen Zahlen im offenen Intervall (0,1) ist abzählbar.

Es muss eine bijektive Abbildung der reellen Zahlen auf die natürlichen Zahlen existieren. Sei nun l_{i} eine beliebige Folge von reellen Zahlen im offenen Intervall (0,1). Die Folge lässt sich dezimal wie folgt darstellen:

\begin{array}{ccc}
l_1 & = & 0,a_{1;1}a_{1;2}a_{1;3}\ldots\\
l_2 & = & 0,a_{2;1}a_{2;2}a_{2;3}\ldots\\
l_3 & = & 0,a_{3;1}a_{3;2}a_{3;3}\ldots\\
&\vdots
\end{array}




wobei l_{i} reelle Zahlen sind und a_{i;j} die Dezimalstellen dieser Zahlen. Nun lässt sich eine Zahl z konstruieren die nicht in der Folge l_{i} zu finden ist.

z = 0,f_1f_2f_3\cdots

wobei 

f_i=\begin{cases}
0, &\text{wenn } a_{i;i} = 9;\\
a_{i;i} + 1 &\text{wenn } a_{i;i} < 9;\\
\end{cases}


Diese Diagonalzahl z unterscheidet sich von allen anderen Zahlen der Folge l_{i} und ist ebenfalls im Intervall (0,1). Es kann also für jede beliebige Folge l_{i} eine Zahl gefunden werden die nicht in der Folge enthalten ist.

Es existiert keine surjektive Abbildung der natürlichen Zahlen auf das offene Intervall (0,1). D.h. es kann auch keine bijektive Abbildung existieren. Die Menge der reellen Zahlen im Intervall (0,1) ist also nicht abzählbar. Sie ist überabzählbar unendlich. Da das Intervall eine echte Teilmenge der reellen Zahlen \mathbb{R} ist, gilt das auch für die Menge der reellen Zahlen.
Kreativität
Schauen Sie sich das Video an, um den Begriff der Kreativität besser zu verstehen.
Bijektive Funktion
Aufgabe
Verifizieren Sie, dass die folgende Funktion f : \mathbb{N}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+} eine bijektive Funktion ist und
implementieren Sie eine Prozedur, die die zugehörige Umkehrfunktion f^{-1} berechnet.

f(n)=\begin{cases}
1, &\text{wenn }n = 1;\\
f(\frac{n}{2}) + 1, & \text{wenn n gerade};\\
\frac{1}{f(n - 1)}, & \text{wenn n ungerade}.
\end{cases}


Lösung
Scheme Prozedur




Handrechnung

\begin{array}{ccccc}
f(1) & = & 1 \\
f(2) & = & f(1) + 1 & = & 2 \\
f(3) & = & 1 / f(2) & = & 1 / 2 \\
f(4) & = & f(2) + 1 & = & 3 \\
f(5) & = & 1 / f(4) & = & 1 / 3 \\
f(6) & = & f(3) + 1 & = & 3 / 2 \\
f(7) & = & 1 / f(6) & = & 2 / 3 \\
...\\
\end{array}


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