BuK-Übung02 G2

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Archivierte Version vom 2011-03-28T19:34:49+00:00. Aktuelle Version

Inhaltsverzeichnis

Halteproblem

Aufgabe

Lösung





Beweise
Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist.
Lösung
Eine Menge ist dann abzählbar unendlich wenn sie gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen \mathbb{N} ist. Mit Cantors erstes Diagonalargument lässt sich zeigen, dass die unendliche Menge der rationalen Zahlen \mathbb{Q} gleichmächtig mit der Menge der natürlichen Zahlen \mathbb{N} ist.
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass die Wortmenge A^{\ast} über A abzählbar unendlich ist.
Lösung
Aufgabe 3
Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.
Lösung
Durch Widerspruch kann gezeigt werden, dass die Menge der reellen Zahlen \mathbb{R} überabzählbar unendlich ist. Für den Beweis wird das offene Intervall (0,1)  betrachtet was eine echte Teilmenge der reellen Zahlen darstellt.

Annahme: Die Menge der reellen Zahlen im offenen Intervall (0,1) ist abzählbar.

Es muss eine bijektive Abbildung der reellen Zahlen auf die natürlichen Zahlen existieren. Sei nun l_{i} eine beliebige Folge von reellen Zahlen im offenen Intervall (0,1).
Kreativität
Schauen Sie sich das Video an, um den Begriff der Kreativität besser zu verstehen.
Bijektive Funktion
Aufgabe
Verifizieren Sie, dass die folgende Funktion f : \mathbb{N}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+} eine bijektive Funktion ist und
implementieren Sie eine Prozedur, die die zugehörige Umkehrfunktion f^{-1} berechnet.

f(n)=\begin{cases}
1, &\text{wenn }n = 1;\\
f(\frac{n}{2}) + 1, & \text{wenn n gerade};\\
\frac{1}{f(n - 1)}, & \text{wenn n ungerade}.
\end{cases}


Lösung
Scheme Prozedur




Handrechnung

\begin{array}{ccccc}
f(1) & = & 1 \\
f(2) & = & f(1) + 1 & = & 2 \\
f(3) & = & 1 / f(2) & = & 1 / 2 \\
f(4) & = & f(2) + 1 & = & 3 \\
f(5) & = & 1 / f(4) & = & 1 / 3 \\
f(6) & = & f(3) + 1 & = & 3 / 2 \\
f(7) & = & 1 / f(6) & = & 2 / 3 \\
...\\
\end{array}


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