Halteproblem

Aufgabenstellung

Spielen Sie die Betrachtungen zum Halteproblem (s. Vorlesung) mit Scheme-Prozeduren nach.

Hinweis: Definieren Sie ggf. auch eine Prozedur haelt-tricky?, die \#t zurück gibt, wenn das betrachtete Programm P ein Ergebnis berechnet, und \#f, wenn die Berechnung in einer gewissen Zeit T zu keinem Ergebnis führt. Verwenden Sie zeitbeschränkte Berechnungen, deren Implementierungidee einige Kreativität erfordert.

Lösung

Beispiel-Aufruf: (haelt-tricky crazy-tricky 0)

Beweise

Aufgabenstellung

1. Zeigen Sie, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist.
2. Zeigen Sie, dass die Wortmenge A^\ast über A abzählbar unendlich ist.
3. Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.

Lösung

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Die Anzahl der Wörter aus einem Alphabet A mit einer bestimmten Länge l ist endlich. Die Zahl der Wörter, die mit der Länge l aus dem Alphabet A gebildet werden können, kann mit

\begin{array}{ccc} \text{Anzahl der Elemente des Alphabets}^\text{Wortl\"ange}&=&A^l \end{array}

berechen werden.

Beispiel

Die Wortmenge A^\ast bildet sich nun aus den unendlich vielen Teilmengen A^i.

Um eine Abbildung der Wortmenge A^\ast auf die natürlichen Zahlen \mathbb{N} zu ermöglichen, ordnet man die einzelnen Wörter der Wortmenge nach der längenlexikografischen Ordnung.

Aufgabe 3

Bijektive Funktion

Aufgabenstellung

Verifzieren Sie, dass die folgende Funktion f : \mathbb{N}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+ eine bijektive Funktion ist und implementieren Sie eine Prozedur, die die zugehörige Umkehrfunktion f^{-1} berechnet.

f(n)=\begin{cases} 1, &\text{wenn }n=1;\\ f(\frac{n}{2}), & \text{wenn n gerade};\\ \frac{1}{f(n-1)}, & \text{wenn n ungerade}. \end{cases}

Lösung