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Übung 2

Aufgabe 5

Verifizieren Sie, dass die folgende Funktion f:\N^+ \rightarrow \Q^+ eine bijektive Funktion ist und implementieren Sie eine Prozedur, die die zugehörige Umkehrfunktion f^{-1} berechnet.

f(n) = \begin{cases} 1, & \text{wenn } n=1;\\ f(\frac{n}{2})+1, & \text{wenn } n \text{ gerade};\\ \frac{1}{f(n-1)}, & \text{wenn } n \text{ ungerade}. \end{cases}

Schreiben Sie als erstes eine Scheme-Prozedur für f und führen Sie einige rekursive Berechnungen aus.
Berechnen Sie f(n) für n = 1,2,....,7 mit Hand.
Verbessern Sie die Effizienz der Prozedur für f mittels memoizing.

Lösung zu 1.:

(define f 
    (lambda (n) 
        (if (= n 1)
            1
            (if (= (modulo n 2) 0)
                (+ 1 (f (/ n 2)))
                (/ 1 (f (- n 1)))
            )
        )
    )
)

(f 6)

Lösung zu 2.:

f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 0,5 f(4) = 3 f(5) = \frac{1}{3} f(6) = 1,5 f(7) = \frac{2}{3}

Lösung zu 3.:

(import hashtable)
(define table (make-hashtable))
(define false (lambda () #f))
(define f-mem
    (lambda (n) 
        (let ([resultat (hashtable/get table n false)])
            (cond
                [(= n 1) 1]
                [(number? resultat) resultat]
                [else 
                  (let([res-berechnet 
                    (if (= (modulo n 2) 0)
                        (+ 1 (f-mem (/ n 2)))
                        (/ 1 (f-mem (- n 1)))
                    )])
                    (hashtable/put! table n res-berechnet)
                    res-berechnet
                  )
                ]
            )
        )
    )
)

(f-mem 999)

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Aufgabe 5

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