BuK/IIm18/IIm18-Kreativaufgabe6

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==MIU-System (Douglas R. Hofstadter)==
===Symbole===
 M, I, U

===Axiom=== 
$MI$

===Regeln===

# Wenn $xI$ ein Satz ist, dann auch $xIU$.
# Wenn $Mx$ ein Satz ist, dann auch $Mxx$.
# In jedem Satz kann $III$ durch $U$ ersetzt werden.
# $UU$ kann aus jedem Satz weggelassen werden.

===Typografische Regeln:===

# Wenn am Ende eines Satzes ein $I$ steht, füge ein $U$ daran
# Wenn der Satz mit $M$ beginnt, kopiere alle Zeichen nach dem $M$ und füge diese an das Ende an
# Wenn das $I$ dreimal hintereinander auftritt, ersetze es durch $U$
# Wenn das $U$ zweimal hintereinander auftritt, werden beide $U$'s gelöscht

===Anwendung der typografischen Regeln===

* $MI \rightarrow MIU \rightarrow MIUIU \rightarrow MIUIUIUIU$ ...
* $MI \rightarrow MII \rightarrow MIIII \rightarrow MUI \rightarrow MUIUI \rightarrow MUIUIUIUI \rightarrow$ ...
* $\hspace{35mm}\rightarrow MIIIIIIII \rightarrow MUUII \rightarrow MII \rightarrow$ ...

=== MU ist kein Satz im MIU-System ===

* Anfangswort: $MI$
* Ziel: $MU$
* das heißt es müssen (unter anderem) alle I's eliminiert werden
* Eliminierung der I's nur durch Regel 3 möglich, die mindestens 3 I's voraussetzt
* nur durch Regel 2 können weitere I's erzeugt werden
* dabei werden diese aber immer verdoppelt $\rightarrow$ d.h. Anzahl der I's ist $2^n$
* es muss folglich eine Lösung für folgende allgemeine Gleichung gefunden werden, um die Anzahl der I's auf 0 zu bringen
 $2^n-3k = 0$
 $2^n=3k$
 $\frac{2^n}{3}=k$
* jede natürliche Zahl lässt sich in Primfaktoren zerlegen
** diese Darstellung ist eindeutig (Reihenfolge der Faktoren nicht betrachtet)
* da 2 und 3 Primzahlen sind und ${2^n}$ bereits nur aus Primfaktoren ($2*2*2...$ ) besteht, kann 3 als Primfaktor darin nicht vorkommen
* folglich ist ${2^n}$ nicht ganzzahlig durch 3 teilbar, weswegen ein solches k hier nicht existiert
* Man kann also keine der Regeln n mal anwenden, damit alle I's beseitigt werden
* MU kann entsprechend kein Satz des MIU-Systems sein

=== Überführung in die Zahlentheorie ===

===Abbilden der Symbole auf die natürlichen Zahlen===
====Zuordnung von natürlichen Zahlen zu den Symbolen====

$M \hspace{2.5mm}\Leftrightarrow \hspace{2.5mm} 3$

$I \hspace{5mm}\Leftrightarrow \hspace{2.5mm} 1$

$U \hspace{4mm}\Leftrightarrow \hspace{2.5mm} 0$


Dadurch ergeben sich für die unterschiedlichen Wörter des Systems Gödelnummern


$MU \Leftrightarrow 30$

$MIU \Leftrightarrow 310$

$MIIU \Leftrightarrow 3110$

...

Diese Umwandlung kann sich durch folgende Rechnung ergeben

Bsp.: $MIIU$

$3*10^3 + 1*10^2 + 1*10^1 + 0*10^0 = 3110$

====Anpassung der Regeln====
=====Allgemeine Form=====
# $x1 \rightarrow x10$
# $3x \rightarrow 3xx$
# $y111x \rightarrow y0x$
# $y00x \rightarrow yx$

=====Zahlentheoretische Form=====
* ($m$ ist hier quasi die Länge/Anzahl der Zeichen von $x$)
* es wird jeweils noch mit angeführt, wie sich die Regeln aus der ausführlichen Form ergeben

1) $10*x+1 \rightarrow 10^2*x + 10$

* $x*10^1+1*10^0 \rightarrow x*10^2+1*10^1+0*10^0$

2) $3*10^m+x \rightarrow 10^m*(3*10^m*x)+x$

* $3*10^m + x*10^0 \rightarrow 3*10^{2*m} + x*10^m + x*10^0$

3) $y*10^{m+3} + 111 * 10^m + x \rightarrow y*10^{m+1} +x$

* $y*10^{m+3} + 1 * 10^{m+2} + 1 * 10^{m+1} + 1 * 10^m+ x*10^0 \rightarrow y*10^{m+1} + 0*10^1 + x*10^0$

4) $y*10^{m+2}+n \rightarrow y*10^m + n$

* $y*10^{m+2}+ 0*10^{m+1} + 0*10^m +n*10^0 \rightarrow y*10^m + n*10^0$

====Ziel====

$MU = 30$