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= Übungsaufgaben - Indirekter Beweis =
== Aufgabe 1 ==
Beweisen Sie indirekt, dass <math>x</math> eine gerade Zahl ist, wenn <math>x^2</math>
mit <math>x \in \mathbb{N}</math> eine gerade Zahl ist.

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'''Wenn-Dann-Form:'''
Wenn <math>x^2</math> eine gerade Zahl ist, dann ist <math>x</math> eine gerade Zahl.
Anders geschrieben: Wenn <math>2|x^2</math>, dann <math>2|x</math>.

'''Annahme:''' <math>x</math> ist ungerade (<math>x^2</math> bleibt gerade)

<math>x=2k+1</math>, mit <math>k\in\mathbb{N}</math> 

<math>x^2 = 4k^2+4k+1 = 2(4k^2+2k)+1</math>, Subst: <math>(4k^2+2k) = j \Rightarrow 2j+1 \Rightarrow x^2 </math> ungerade <math>\Rigtharrow</math>Widerspruch

<math>2\not|x^2 \Rightarrow \underline{\underline{x}} </math> <math>\underline{\underline{gerade}}</math>.

== Aufgabe 2 ==
Beweisen Sie die Aussage, wonach aus der Gültigkeit der Aussagen <math>A \Rightarrow B, B \Rightarrow C</math> und <math>\overline{C}</math> die Gultigkeiten von <math>A</math> und
<math>B</math> folgen. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Wahrheitstabelle dar.

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{| class="wikitable"
|-
! A!! B!! C!! <math>\overline{C}</math>!! <math>A\Rightarrow B</math>!! <math>B\Rightarrow C</math>!! <math>B\Rightarrow \overline{C}</math>
|-
| 0 || 0 || 0 || '''1''' || 1 || '''1''' || 1 
|-
| 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1
|-
| 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 0 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 1 || 0 || 1 || 1 || 0 || 1
|-
| 1 || 1 || 1 || 0 || 1 || 1 || 0
|}

== Aufgabe 3 ==
Was kann man über die Gültigkeit von <math>A</math> und <math>B</math> schließen, wenn bekannt ist, dass <math>A \Rightarrow B, B \Rightarrow C</math> und <math>\overline{C}</math> gelten?
Verwenden Sie die Tabelle aus der vorhergehenden Aufgabenlösung.

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Die Aussagen treffen in der ersten Zeile der Wahrheitstabelle zu. <math>A</math> und <math>B</math> gelten nicht, also muss <math>\overline{A}</math> und <math>\overline{B}</math> gelten. ''(nicht sicher! Aussage überprüfen)''

= Übungsaufgaben - Vollständige Induktion =
== Aufgabe 1 ==
Beweisen Sie die folgenden Beziehungen fur Fibonacci-Zahlen nach Defintion in obigem Beispiel mittels vollständiger Induktion:

<math>\sum_{k=1}^n F_k=F_{n+2}-1, \sum_{k=1}^n F_{2k}=F_{2n+1}-1</math> und <math>\sum_{k=1}^n F_{2k-1}=F_{2n}</math> für <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>n \ge 1</math>

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'''Beziehungen aus dem anderen Beispiel:'''

<math>F_0 = 0</math>

<math>F_1 = 1</math>

<math>F_n = F_{n-1} + F_{n-2}</math>, mit <math>n\ge 2</math>

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'''Induktionsanfang:'''
<math>i=1</math>

<math>\sum_{k=1}^n F_k=F_{n+2}-1</math>

<math>\sum_{k=1}^n F_1=F_{1+2}-1</math>

<math>F_1=F_3-1</math>

<math>F_1=F_2+F_1-1</math>

<math>1=1+1-1=\underline{\underline{1}}</math>


'''Wenn-Dann-Form:'''

Wenn <math>\sum_{k=1}^n F_k=F_{n+2}-1</math>,

Dann <math>\sum_{k=1}^{n+1} F_k=F_{(n+1)+2}-1</math>

<math>\sum_{k=1}^{n+1} F_k=\sum_{k=1}^n F_k+F_{n+1}</math>

<math> = F_{n+2}-1 + F_{n+1}</math>

kurze Umstellung:

<math>F_n= F_{n-1}+F_{n-2}</math>

<math>F_{n+3} = F_{(n+3)-1}+F_{(n+3)-2}</math>

<math>F_{n+3}= F_{(n+2)}+F_{(n+1)}</math>

Ende der Umstellung

<math> = F_{n+3}-1</math>

= Übungsaufgaben - Grundbegriffe = 
<language>Scheme</language>
== Aufgabe 1 ==
Die im Folgenden definierte Funktion <math>q:\mathbb{R}\Rightarrow\mathbb{R}</math> ist an der Stelle <math>x=3</math> undefiniert. Hierfür verwenden wir das Symbol <math>\perp</math>.

<math>q(x)= \begin{cases} \frac{35}{x-3} & ,x\not=3\\ \perp & ,sonst \end{cases}</math>

Schreiben Sie ein Programm, das <math>q</math> berechnet.

<code id="5158b6719d56f">
(define q
    (lambda(x)
        (if (= x 3)
            (q x)
            (/ 35 (- x 3)))))
</code>

<run>(q 8)</run>

== Aufgabe 2 ==
Geben Sie sich einige Definitionsbeispiele selbstgewählter Funktionen vor. Achten Sie darauf, dass es sich auch um (echte) partielle Funktionen handeln kann. Außerdem sollten Sie einige abschnittsweise definierte Funktionen, z.B. Briefporto, Zuzahlungen für Medikamente usw., aufnehmen.

<math>preis(x)= \begin{cases} x+3 & \text{, wenn } x\le5\\ x+0.02x & ,sonst \end{cases} \text{, mit } x\in\mathbb{R}^+</math>

== Aufgabe 3 ==
Wiederholen Sie die folgenden Eigenschaften von Funktionen:

injektiv, surjektiv und bijektiv. 

Geben Sie aussagekräftige Beispiele an. 
Skizzieren Sie folgende Funktionen mittels Abbildungspfeilen aus X in Y : injektiv und surjektiv; injektiv, nicht surjektiv; nicht injektiv, surjektiv; nicht injektiv, nicht surjektiv.

== Aufgabe 4 ==
Entwerfen Sie ein Aufbauschema zur systematischen Erzeugung aller Elemente aus $\mathcal{P}(M)$ für eine gegebene endliche Menge M und wenden Sie es auf einige selbstgewählte Beispiele an.

'''Aufbauschema:'''
# leere Menge aufnehmen
# ein Element der Grundmenge nehmen und jedem Element der vorher gebildeten Menge hinzufügen (bis alle Elemente der Grundmenge verbraucht sind)

$M=\{a,b,c\}$

$\wp=\{\emptyset\}$

$\wp=\{\emptyset,\{b\}\}$

$\wp=\{\emptyset,\{b\}, \{c\}, \{bc\}\}$

$\wp=\{\emptyset,\{b\}, \{c\}, \{bc\}, \{a\}, \{ba\}, \{ca\}, \{bca\}\}$