BuK/IIm11/Studenten/sidatasc/ue2

Wiki-Quelltext dieser Seite.

<language>Scheme</language>
==== Aufgabe 5 <tt>(Jens Heider, Daniel Tasche)</tt> ====

Verifizieren Sie, dass die folgende Funktion $f:\N^+ \rightarrow \Q^+$ eine bijektive Funktion ist und implementieren Sie eine Prozedur, die die zugehörige Umkehrfunktion $f^{-1}$ berechnet.

Umkehrfunktion:

$$ f^{-1}(n) = \begin{cases}1, & n = 1 \\ f^{-1}(n-1) * 2, & n > 1 \\ f^{-1}(\frac{1}{n}) + 1, & sonst\end{cases} $$

<code id="4f7872cf68601">
(define f-umkehr 
    (lambda (n) 
        (if (= n 1)
            1
            (if (> n 1)
                (* 2 (f-umkehr (- n 1)))
                (+ 1 (f-umkehr (/ 1 n)))
            )
        )
    )
)
</code>

<run id="4f7872cf686a7">
(f-umkehr (/ 3 2))
</run>

$$f(n) = \begin{cases}
1, & \text{wenn } n=1;\\
f(\frac{n}{2})+1, & \text{wenn } n \text{ gerade};\\
\frac{1}{f(n-1)}, & \text{wenn } n \text{ ungerade}.
\end{cases}$$

# Schreiben Sie als erstes eine Scheme-Prozedur für $f$ und führen Sie einige rekursive Berechnungen aus.
# Berechnen Sie $f(n)$ für $n = 1,2,....,7$ mit Hand.
# Verbessern Sie die Effizienz der Prozedur für $f$ mittels memoizing.

'''Aufgabe 1'''
<code id="4f69d969d359a">
(define f 
  (lambda (x) 
    (if (= x 1) 
      1
      (if (= (modulo x 2) 0) 
          (+ (f (/ x 2)) 1)
          (/ 1 (f (- x 1)))
      )
    )
  )
)

</code>

<run id="4f69d969d3638">(f 9)</run>

''' Aufgabe 2 '''

$f(1) = 1$

$f(2) = 2$

$f(3) = \frac{1}{2}$

$f(4) = 3$

$f(5) = \frac{1}{3}$

$f(6) = \frac{3}{2}$

$f(7) = \frac{2}{3}$

'''Aufgabe 3'''

<code id="4f70908f869fb">
(import hashtable)
(define table (make-hashtable))
(define false (lambda () #f))
(define f-mem
    (lambda (n) 
        (let ([resultat (hashtable/get table n false)])
            (cond
                [(= n 1) 1]
                [(number? resultat) resultat]
                [else 
                  (let([res-berechnet 
                    (if (= (modulo n 2) 0)
                        (+ 1 (f-mem (/ n 2)))
                        (/ 1 (f-mem (- n 1)))
                    )])
                    (hashtable/put! table n res-berechnet)
                    res-berechnet
                  )
                ]
            )
        )
    )
)
</code>

<run id="4f70908f86a74">(f-mem 6)</run>