Bergervei/Python-Das Geburtstagsparadoxon

Wiki-Quelltext dieser Seite.

<language>Python</language>
== Problem 1 ==
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter $N$ Personen zwei am gleichen Tag Geburtstag haben?

=== Simulation ===
<code id="626111472e5c8">
from random import *

def simulation1(n):
  z = 0
  ls = [randint(1, 365) for i in range(n)]
  for i in range(n - 1):
    for j in range(i + 1, n):
      if ls[i] == ls[j]:
        z = 1; return z
  return z
</code>

<run id="6260669394836">
print(simulation1(10))
</run>

=== Mehrfachsimulation ===
<code id="6260669394715">
def experiment1(n, m):
  z = 0
  for i in range(n):
    z += simulation1(m)
  return z / n
</code>

<run id="6260669394850">
print(experiment1(10000, 23))
</run>

=== Wahrscheinlichkeit ===
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter $N$ Personen zwei am gleichen Tag Geburtstag haben, berechnet sich mit:

<blockquote>
$p(n) = 1 - \dfrac{365 \cdot 364 \cdot \hspace{0.3em} ... \hspace{0.3em} \cdot (365 - (n -1))}{365 ^ n}$
</blockquote>

<code id="626066939475c">
def produkt(von, bis):
  p = 1
  while von <= bis:
    p *= von
    von += 1
  return p

def wahrscheinlichkeit1(n): 
  return 1 - produkt(365 - (n - 1), 365) / (365 ** n)
</code>

<run id="6260669394895">
print(wahrscheinlichkeit1(23))
</run>

== Problem 2 ==
Wie viele Personen muss man im Mittel nach ihrem Geburtstag fragen, bis man einen Doppelgeburtstag erhält?

=== Simulation ===
<code id="626085229cf02">
def simulation2():
  z = 1
  ls = []; dat = randint(1, 365)
  while not (dat in ls):
    ls.append(dat)
    dat = randint(1, 365)
    z += 1
  ls.append(dat)
  return z
</code>

<run id="62606693948d9">
print(simulation2())
</run>

=== Mehrfachsimulation ===
<code id="62606693947e6">
def experiment2(n):
  z = 0
  for i in range(n):
    z += simulation2()
  return z / n
</code>

<run id="626066939491e">
print(experiment2(10000))
</run>

Interessanterweise sind unter dieser Fragestellung im Mittel $25$ Personen notwendig.

== Problem 3 ==
Wie groß muss eine Gruppe von Personen sein, damit im Mittel mindestens ein Doppelgeburtstag auftritt?

=== Simulation ===
<code id="6261c1101d8bc">
def simulation3(n):
  z = 0
  ls = [randint(1, 365) for i in range(n)]
  while len(ls) > 0:
    z += 1
    n = ls[0]; del ls[0]
    if n in ls: break
  return z
</code>

<run id="6261c1101d96c">
print(simulation3(50))
</run>

=== Mehrfachsimulation ===
<code id="6261c1101d910">
def experiment3(n, m):
  z = 0
  for i in range(n):
    z += simulation3(m)
  return 1 - z /  n / m
</code>

<run id="6261c1101d9b7">
print(experiment3(10000, 29))
</run>

Bei einer Personengruppe mit $N = 29$ Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit mindestens eines Doppelgeburtstages $50 \%$.

== Literatur ==
* [1] F. Barth, R. Haller (2012): Besetzungen und Geburtstage, in: Stochastik in der Schule 32 (3), S. 20–27.
* [2] F. Barth, R. Haller (2013): Gemeinsame Geburtstage, in: Stochastik in der Schule 33 (1), S. 25–32