IIm18-Vorlesung1

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== Ausgewählte mathematische Grundlagen == 


=== Aufgabe 3===

''Für die folgende Implikation ist die zugehörige Wahrheitstafel aufzustellen.''

Implikation: $\lnot B \land (A \rightarrow B) \Rightarrow \lnot A$

{| border="1px" cellpadding="8" cellspacing="0"
|-style="text-align: center;background-color:lightgrey;"
|| '''$A$''' || '''$B$''' || '''$\lnot A$''' || '''$\lnot B$''' || '''$A \rightarrow B$''' || '''$\lnot B \land (A \rightarrow B)$''' || $\lnot B \land (A \rightarrow B) \Rightarrow \lnot A$
|-style="text-align: center;"
|| w || w || f || f || w || f || style="background: lightgreen;"|w
|-style="text-align: center;"
|| w || f || f || w || f || f || style="background: lightgreen;"|w
|-style="text-align: center;"
|| f || w || w || f || w || f || style="background: lightgreen;"|w
|-style="text-align: center;"
|| f || f || w || w || w || w || style="background: lightgreen;"|w
|-
|}


=== Aufgabe 6 ===

''Für die folgenden logischen Ausdrücke sollen durch Wahrheitstafeln auf Richtigkeit überprüft werden.''

'''Kontraposition:''' $(A \rightarrow B) \Leftrightarrow ( \lnot B \rightarrow \lnot A)$

{| border="1px" cellpadding="8" cellspacing="0"
|-style="text-align: center;background-color:lightgrey;"
|| '''$A$''' || '''$B$''' || '''$\lnot A$''' || '''$\lnot B$''' || '''$A \rightarrow B$''' || '''$\lnot B \rightarrow \lnot A$''' || $(B \rightarrow A) \Leftrightarrow ( \lnot B \rightarrow A)$
|-style="text-align: center;"
|| w || w || f || f || w || w || style="background: lightgreen;"|w
|-style="text-align: center;"
|| w || f || f || w || f || f || style="background: lightgreen;"|w
|-style="text-align: center;"
|| f || w || w || f || w || w || style="background: lightgreen;"|w
|-style="text-align: center;"
|| f || f || w || w || w || w || style="background: lightgreen;"|w
|-
|}

Die Wahrheitstafel zeigt die Tautologie des logischen Ausdrucks der Kontraposition. Somit ist nachgewiesen, dass der Ausdruck richtig.


'''Widerspruchsbeweis:''' $(A \rightarrow B) \Leftrightarrow (A \land \lnot B \rightarrow f)$

{| border="1px" cellpadding="8" cellspacing="0"
|-style="text-align: center;background-color:lightgrey;"
|| '''$A$''' || '''$B$''' || '''$\lnot B$''' || '''$A \rightarrow B$'''|| '''$A \land \lnot B$''' || '''$(A \rightarrow B) \Leftrightarrow (A \land \lnot B)$''' 
|-style="text-align: center;"
|| w || w || f || w || f || style="background: tomato;"|f
|-style="text-align: center;"
|| w || f || w || f || w || style="background: tomato;"|f
|-style="text-align: center;"
|| f || w || f || w || f || style="background: tomato;"|f
|-style="text-align: center;"
|| f || f || w || w || f || style="background: tomato;"|f
|-
|}


Da die Implikation $A \Rightarrow B$ logisch äquivalent zu der Aussage $\lnot A\lor B$ ist, lässt sich einfach anhand einer Wahrheitstafel zeigen. Demzufolge ist $\lnot (A \Rightarrow B)$ ebenfalls logisch äquivalent zu $A \land \lnot B$. Somit kann die Implikation $A \Rightarrow B$ durch die Widerlegung der Aussage $A \land \lnot B$ bewiesen werden.

Die Wahrheitstafel zeigt genau diesen Sachverhalt, was die Richtigkeit des logischen Ausdrucks des Widerspruchsbeweis bestätigt.


=== Aufgabe 8 ===

''Beweisen Sie die Aussage, wonach aus der Gültigkeit der Aussagen $A \rightarrow B$, $B \rightarrow C$ und $\lnot C$ die Gültigkeiten von $\lnot A$ und $\lnot B$ folgen. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Wahrheitstafel dar.''

{| border="1px" cellpadding="8" cellspacing="0"
|-style="text-align: center;background-color:lightgrey;"
|| '''Nummer''' ||'''$A$''' || '''$B$''' || '''$C$''' || '''$\lnot A$''' || '''$\lnot B$''' || '''$\lnot C$''' || '''$A \rightarrow B$'''|| '''$B \rightarrow C$''' 
|-style="text-align: center;"
|| 1 || w || w || w || f || f || f || w || w
|-style="text-align: center;"
|| 2 || w || w || f || f || f || w || w || f
|-style="text-align: center;"
|| 3 || w || f || w || f || w || f || f || w
|-style="text-align: center;"
|| 4 || w || f || f || f || w || w || f || w
|-style="text-align: center;"
|| 5 ||f || w || w || w || f || f || w || w
|-style="text-align: center;"
|| 6 || f || w || f || w || f || w || w || f
|-style="text-align: center;"
|| 7 || f || f || w || w || w || f || w || w
|-style="text-align: center; background-color: lightgreen;"
|| 8 || f || f || f || '''w''' || '''w''' || '''w''' || '''w''' || '''w'''
|-
|}

Damit die oben genannte Aussage zutrifft, $A$, $B$ und $C$ mit $f$ belegt sein.



''Was kann man über die Gültigkeit von A und B schließen, wenn bekannt ist, dass $A \rightarrow B$, $B \rightarrow C$ und $C$ gelten? 
Verwenden Sie die Tabelle aus der vorhergehenden Aufgabenlösung.''

{| border="1px" cellpadding="8" cellspacing="0"
|-style="text-align: center;background-color:lightgrey;"
|| '''Nummer''' ||'''$A$''' || '''$B$''' || '''$C$''' || '''$\lnot A$''' || '''$\lnot B$''' || '''$\lnot C$''' || '''$A \rightarrow B$'''|| '''$B \rightarrow C$''' 
|-style="text-align: center; background-color: lightgreen;"
|| 1 || w || w || '''w''' || f || f || f || '''w''' || '''w'''
|-style="text-align: center;"
|| 2 || w || w || f || f || f || w || w || f
|-style="text-align: center;"
|| 3 || w || f || w || f || w || f || f || w
|-style="text-align: center;"
|| 4 || w || f || f || f || w || w || f || w
|-style="text-align: center; background-color: lightgreen;"
|| 5 ||f || w || '''w''' || w || f || f || '''w''' || '''w'''
|-style="text-align: center;"
|| 6 || f || w || f || w || f || w || w || f
|-style="text-align: center; background-color: lightgreen;"
|| 7 || f || f || '''w''' || w || w || f || '''w''' || '''w'''
|-style="text-align: center;"
|| 8 || f || f || f || w || w || w || w || w
|-
|}

Unter der Annahme, dass die Aussage $A \rightarrow B$, $B \rightarrow C$ und $C$ gültig ist, gibt es 3 möglich Belegungen von $A$ und $B$.

$(w,w)$, $(f,w)$ sowie $(f,f)$