Verzweigen und Begrenzen

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=Einführung=
==Prinzip==
=Verzweigung=

Bei der Verzweigung werden von einem Knoten des Entscheidungsbaumes aus zwei oder mehrTeilprobleme erzeugt. Die Art der Aufspaltung in Teilprobleme hängt immer vom betrachteten Problem ab. Es gibt verschiedene Auswahlverfahren für die Wahl des nächsten zu bearbeitenden Knotens im Aufteilungsbaum, die unterschiedliche Zielsetzungen haben. Die haeufigste verwendete Methoden sind 
Tiefensuche und Breitensuche

==Tiefensuche==
[[Bild:Okyanus_Depth-First-Search.gif]]


: '''Mit dieser Auswahlregel arbeitet sich das Verfahren im Baum möglichst schnell in die Tiefe .'''
: Hier geht man so weit wie möglich einen gewählten Pfad entlang. Wenn man am Ende eines Zweiges angekommen ist, geht man schrittweise zurück, bis man in einen bislang unbesuchten Teilbaum absteigen kann. Ist man wieder am Startknoten angelangt und es gibt keine unbesuchten Knoten, die mit dem Startknoten durch eine Kante verbunden sind, dann ist man fertig.
: Dieses Verfahren nennt man Backtracking: Man geht solange man kann, wenn man nicht mehr weiter kommt, geht man zurück bis man einen anderen Weg findet.

==Breitensuche==
: [[Bild:Breadth-First-Search-Algorithm.gif]]
  
: Die Breiten Suche  ist ein Algorithmenmuster, das die Knoten eines Graphen nach der Entfernung von einem Startknoten geordnet durchläuft. Zuerst werden alle von diesem Startknoten direkt durch eine Kante erreichbaren Knoten bearbeitet, danach die mit zwei Kanten Entfernung, dann die mit drei usw.

: -Knoten werden in der Reihenfolge mit zunehmenden Abstand vom Startknoten aus besucht.
: -Nachdem alle Knoten mit Abstand d verarbeitet wurden, werden die mit d + 1 angegangen.
: -Die Suche terminiert, wenn in Abstand d keine Knoten auftreten.
: -Die Tiefe des Knotens v im Breitensuchbaum ist seine kürzeste Kantendistanz zum Startknoten.
: -Die zu verarbeitenden Knoten werden als FIFO-Queue (first-in first-out) organisiert.
: -Es gibt eine einzige „Verarbeitungsmöglichkeit“ für v, nämlich, wenn es aus der Queue entnommen wird

=Beschränkung=
Für jeden aus einem Verzweigungsschritt erzeugten Knoten wird eine Beschränkung, die sogenannte ''Wertschranke'', bestimmt. Abhängig davon, ob ein Optimum maximaler- oder minimaler Gestalt gesucht wird, stehen verschiedene Verfahren zur Ermittlung der Wertschranke zur Verfügung. Die Schranke gibt an, dass für den aktuellen Knoten $v_i$ mit Wertschranke $bound_{v_i}$ kein durch Expansion erzeugter Folgeknoten $v_{i+n}$ mit $bound_{v_{i+n}} > bound_{v_i}$ existiert.
   $bound_{v_i}$von$\qquad v_i\colon \enspace \nexists v_{i+n}\mid bound_{v_{i+n}} > bound_{v_i}\mid n\in \mathbb{N}$
==Veranschaulichung==
Schaut man sich einige Beispiele für eine Mögliche Abfolge bei verschiedenen Bäumen und unterschiedlichen Bewertungen an, wird schnell klar, dass eine Begrenzung große, irrelevante teilprobleme abschneiden und das Hauptproblem so erheblich verkleinern kann. Dies ist jedoch von den erhaltenen wertschranken abhängig. Im schlimmsten Fall wird keine Optimierung erreicht.
<popup name="Einfaches Beispiel">
[[Bild:Flikkes_1stBoundEx.gif]]
<popup name="Erläuterung">
Es ist zu beachten, dass es sich bei diesem Beispiel um ein Worst-Case-Szenario handelt.
</popup>
<popup name="Größeres Beispiel">
[[Bild:Flikkes_2ExComplicated.gif]]
<popup name="Erläuterung">
Das Problem konnte verkleinert werden.
</popup>

==Dominanztest==

=Rucksackproblem=
: Das Rucksackproblem  ist ein Optimierungsproblem der Kombinatorik. Von Lösungsalgorithma her   das ''Rucksackproblem'' ist  einer der bekanntesten '''NP-Hard''' Probleme. 
Es sei es gibt 'n'  Gegenstände mit den Gewichten  $ g_1,g_2 , \cdots , g_n $ und werten $ w_1, w_2 , \cdots , w_n $ . Gewicht der  ''i'' ten  Gegenstand  ist $g_i$ und Wert der ''i'' ten Gegenstand ist $w_i$ Die  Interpretation  des Wertes wird durch den  jeweiligen  Sachkontext bestimmt. 

: Das aktuelle Gesamtgewicht des Rucksacks darf  die Maximalkapazitaet , sei ''' K ''' , nicht übersteigen. 

Mathematische Schreibweise der 0/1 Rucksackprobleme ;

$ \sum_{i=1}^n {x_i}{ω_i} $ -> max , wobei $ \sum_{i=1}^n{x_i}{g_i} \leq  K $ mit  $x_i \in $ {0,1}


==kleine Übung==

=Traveling Salesman Problem=
==kleine Übung==
=Maximum Satisfiability Problem=
==kleine Übung==