Greedyalgorithmen und -heuristiken
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<language>Scheme</language>
<h3>09.01.16 - hab mal versucht nen roten faden für die aufteilung zu finden - es muss alles noch bearbeitet werden - müssen die nächsten tage mal wegen der Vortragsaufteilung/Gliederung sprechen - evtl habt ihr ja noch ideen was noch rein kann/muss - ich würde gern den abschnitt matroide/unabhängigkeitssysteme machen</h3>
<h1><font color="green">Greedy-Algorithmen</font color></h1>
ca 15min-20min
---was sind greedy algorithmen?
---Wie ist der allgemeine Aufbau?
---Template zeigen und auf Bsp anwenden
---evtl Beispiele für extremfälle vorstellen-globales optimum, lokales optimum, fall in dem der greedy algorithmus versagt
Greedy-Algorithmen oder auch gierige Algorithmen zeichnen sich dadurch aus, dass sie schrittweise und ohne zurückzusetzen, eine Lösung aufbauen indem sie
anhand lokaler Informationen den Folgezustand auswählen, welcher zum Zeitpunkt der Wahl das beste Ergebnis verspricht.
Es werden dabei nicht mehr Teillösungen konstruiert als unbedingt nötig.
#*'''Vorteil:''' sehr schnell, gute (Näherungs-)Lösung.
#*'''Nachteil:'''
#*keine Berücksichtigung früherer Lösungen; keine Revision einmal
getroffener Entscheidungen.
#*Endlösung möglicherweise nicht optimale Lösung.
Greedy-Algorithmen sind oft schnell, lösen viele Probleme aber nicht optimal.
<h2><font color="green">Aufbau</font color></h2>
'''Im Allgemeinen besteht ein Greedy-Algorithmus aus folgenden Bestandteilen:'''
# eine sich verbrauchende '''Kandidatenliste'''
# eine sich aufbauende '''Resultatliste'''
#'''Funktionen'''
#*''loesung?'', die kontrolliert, ob die aktuelle Resultatliste eine Lösung des Problems darstellt
#*''okay?'', die kontrolliert, ob die Erweiterung einer Resultatliste durch den nächsten Kandidaten zulässig ist
#*''ziel'', die den Wert einer Lösung angibt
#'''Auswahlfunktion'''
#*''nächster'', die aus der Kandidatenliste den jeweils besten "Happen" auswählt
#'''Modifikationsfunktionen'''
#* ''modify+'', die die Kandidatenliste im positiven Fall, also wenn die Erweiterung zu einer zulässigen Liste führt, modifiziert
#* ''modify-'', die die Kandidatenliste im negativen Fall, also wenn die Erweiterung nicht zu einer zulässigen Liste führen würde, modifiziert
<h2><font color="green">Greedy Template</font color></h2>
Bestandteile des Algorithmus:
* eine (sich verbrauchende) Kandidatenliste,
* eine (sich aufbauende) Resultatliste,
* Funktionen:
** ''loesung?'', die überprüft, ob die aktuelle Resultatliste eine Lösung des Problems darstellt,
** ''okay?'', die überprüft, ob die Erweiterung einer Resultatliste durch den nächsten Kandidaten zulässig ist,
** ''naechster'', die den besten Kandidaten aus der Liste auswählt,
** ''modify+'', die die Kandidatenliste im positiven Fall modifiziert,
** ''modify-'', die die Kandidatenliste im negativen Fall modifiziert,
** ''ziel'', die die Lösung angibt.
<code id="56905c4837a7e">
(define greedy
(lambda (vorgabewert) ; z.B.: Kapazitaet der Rucksacks
(let
((kandidatenliste '(......))
(loesung? (lambda (ls) ... ))
(okay? (lambda (ls) ... ))
(naechster (lambda (ls) ... ))
(modify+ (lambda (x ls) ... ))
(modify- (lambda (x ls) ... ))
(ziel (lambda (ls) ... ))
(letrec
((helfer
(lambda (kandidaten resultat)
(cond
((loesung? resultat)(ziel resultat))
((and (null? kandidaten)(not (loesung? resultat)))
(error 'greedy "Es gibt keine Loesung."))
(else
(let* ((neuer-kandidat (naechster kandidaten))
(neues-resultat (cons neuer-kandidat resultat)))
(if (okay? neues-resultat)
(helfer (modify+ neuer-kandidat kandidaten) neues-resultat)
(helfer (modify- neuer-kandidat kandidaten) resultat))))))))
(helfer kandidatenliste '())))))
</code>
===Anwendungsbeispiel Geldwechsel===
Die Verwendung dieser Greedy-Schablone illustrieren wir am folgenden Beispiel der Prozedur ''geldwechsel''.
Einem Kunden wird Wechselgeld herausgegeben, wobei möglichst wenige Münzen verwendet werden sollen.
* Die ''Kandidatenliste'' besteht aus allen verfügbaren Euro-Münzen (1-, 2-, 5-, 10-, 20-, 50-Cent und 1- und 2-Euro-Münzen), die wir seit 01.01.2002 zusammen mit den Euro-Scheinen in Europa als Zahlungsmittel benutzen. Die Münzen werden mit absteigendem Cent-Wert vorsortiert.
* ''loesung?'' gibt #t zurück, wenn die Summe der verwendeten Münzen genau den auszuzahlenden Betrag ergibt.
* ''okay?'' gibt an, wenn eine Menge ausgewählter Münzen okay ist, wenn deren Summe höchstens dem zu zahlenden Betrag entspricht.
* Ist dies nicht der Fall, wird dieser Wert aus der Liste der (aussichtsreichen) Kandidaten entfernt. Dies erledigt die Prozedur ''modify-''.
* ''modify+'' lässt die Kandidatenliste unverändert. Dadurch wird erreicht, dass sich potenziell unendlich viele Münzen jeden Wertes in der ''Kandidatenliste'' befinden, so dass jeder beliebige Restbetrag immer ausgezahlt werden kann.
* Die Prozedur ''naechster'' wählt unter den verbleibenden Münzen die jenige mit dem jeweils höchsten Wert aus, ganz gleich, ob damit der zu zahlende Betrag überschritten wird oder nicht. (Dafür gibt es ja ''okay?'') Es wird immer das erste Element zurückgegeben, da zu jedem Zeitpunkt die Kandidatenliste absteigend sortiert ist.
* Die Funktion ''ziel'' gibt die Liste der verwendeten Münzen zurück.
<code id="4db593cd31be4" hidden>
(define delete
(lambda (item ls)
(cond
((null? ls) '())
((eqv? (car ls) item) (cdr ls))
(else
(cons (car ls) (delete item (cdr ls)))))))</code>
<code id="4db593cd31c61">(define geldwechsel
(lambda (restbetrag)
(let ((kandidatenliste '(200 100 50 20 10 5 2 1))
(loesung? (lambda (ls)(= restbetrag (apply + ls))))
(okay? (lambda (ls) (<= (apply + ls) restbetrag)))
(naechster car)
(modify+ (lambda (x ls) ls))
(modify- (lambda (x ls) (delete x ls)))
(ziel (lambda (ls) (cons (reverse ls) (list (length ls))))))
(letrec
((helfer
(lambda (kandidaten resultat)
(cond
((loesung? resultat)(ziel resultat))
((and (null? kandidaten)(not (loesung? resultat)))
(error 'greedy "Es gibt keine Loesung"))
(else
(let* ((neuer-kandidat (naechster kandidaten))
(neues-resultat (cons neuer-kandidat resultat)))
(if (okay? neues-resultat)
(helfer
(modify+ neuer-kandidat kandidaten)
neues-resultat)
(helfer
(modify- neuer-kandidat kandidaten)
resultat))))))))
(helfer kandidatenliste '())))))</code>
Die Prozedur wird benutzt um 12,93 Euro (1293 Euro-Cent) herauszugeben.
<run id="4db593cd31d1e">
(geldwechsel 1293)
</run>
===-----===
<h1><font color="green">Globales und lokales Optimum</font color></h1>
ca 20-25min
---Warum funktioniert der allgorithmus nur manchmal?
---Lokales Globales Optimum
---Matroide erklären
Ein Greedy-Algorithmus findet für ein Optimierungsproblem auf Unabhängigkeitssystemen genau dann die optimale Lösung,
wenn die zulässigen Lösungen die unabhängigen Mengen eines Matroids sind.
Sonst führt der Algorithmus lediglich zu einem lokalen Optimum.
<h2><font color="green">Matroide</font color></h2>
<h3><font color="green">Unabhängigkeit</font color></h3>
<h3><font color="green">erklärung an graph, bipartitem matching, vektoren</font color></h3>
<h3><font color="green">heranführung an definition...</font color></h3>
<h1><font color="green">Beispiele</font color></h1>
ca 15-20min
---Algorithmen aus vorangegangenen Vorträgen vorstellen und erklären warum das ergebnis ein globales Optimum ist
---evtl weitere übungen um in kleineren graphen zu erkennen ob greedy ein lokales oder globales optimum liefern wird
<ul>
<li>Algorithmus von Kruskal für die Suche nach einem minimalen Spannbaum</li>
<li>Algorithmus von Prim für die Suche nach einem minimalen Spannbaum (das zugrundeliegende Mengensystem – die Menge der Bäume – ist aber kein Unabhängigkeitssystem)</li>
<li>Algorithmus von Dijkstra zur Suche eines kürzesten Weges</li>
<li>Färbungsalgorithmus usw</li>
</ul>