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=Problemklassifizierung=
==Einleitung==
Ein zentrales Thema der Informatik ist es, für Probleme algorithmische Lösungen zu finden.
Die Theoretische Informatik beschäftigt sich dabei nicht mit konkreten Problemen, sondern versucht für ganze Problemklassen allgemeine Lösungen zu finden.
Weiterhin ist es nicht zufriedenstellend nur irgendeine Lösung zu finden, die bestmögliche Lösung ist das Ziel.<br>
Die Bildung von solchen Problemklassen ist, wie bei jeder Klassenbildung, eine Verallgemeinerung: eine Reduzierung auf wesentliche relevante Merkmale.
Ein solches Merkmal sollte bei den betrachteten Dingen sehr unterschiedlich ausgeprägt sein, um Kategorien/Klassen bilden zu können.
Bei den Rest-Klassen in der Zahlentheorie z.B. werden Zahlen klassifiziert. Der Modulo bezüglich eines festgelegten Divisors ist das Klassifizierungsmerkmal.
Es lassen sich also Klassen von Zahlen bilden, die ein gemeinsames Merkmal haben: den gleichen Rest bei einem bestimmten Divisor.<br>

Aber welches Merkmal weisen alle Probleme auf und könnte der Klassifizierung dienen?
Das wohl relevanteste Merkmal eines jeden Problems ist der Aufwand den die Lösung des Problems erfordert.
Die Einteilung in Komplexitätsklassen ..
>>Grafik empirische Analyse<br>

Bei so abstrakten Dingen wie "Problemen" stellt sich außerdem die Frage ob diese überhaupt gleichartig und damit klassifizierbar sind.
Es gibt verschiedene Arten von Problemen: Suchprobleme wie "Finde die Knoten mit dem größten Grad in einem Graphen" oder Optimierungsprobleme wie "Wieviele verschiedene Farben sind zur Einfärbung deutschen Bundesländer mindestens notwendig" oder Entscheidungsprobleme wie "Ist ein Wort ein Palindrom".
Alle Probleme erweisen sich aber bei genauerer Betrachtung als Entscheidungsprobleme...
>>Tabelle<br>

Da die Gleichartigkeit nun festgestellt ist, müssen bei weitergehender theoretischer Betrachtung also nur Entscheidungsprobleme berücksichtigt werden, um pauschale Aussagen machen zu können.
Außerdem erlaubt diese Feststellung, dass auf Entscheidungen basierende Konzepte wie Grammatiken und Automaten ohne Einschränkungen für die Klassifizierung verwendet werden können.

<div style= "background-color:#DDDDDD; padding:10px">
;Zusammenfassung: Bei der Problemklassifizierung werden '''Probleme''' nach ihrem Lösungsaufwand in Kategorien eingeordnet. Da nur Algorithmen belegbare Aufwände aufweisen, wird der beste bekannte Algorithmus zur Lösung des Problems als Grundlage verwendet.
</div>

==Die Klasse P==
<div style= "background-color:#F5D0A9; padding:10px">
;Definition: P ist die Klasse aller Probleme, die mit deterministischen Algorithmen in polynomialer Zeit gelöst werden können.
</div>
'''Polynomiale Zeit?'''<br>
In der Mathematik ist ein Polynom ein Term, der nur aus Summen und Produkten zusammengesetzt ist z.B. $a+b*b$.
Wenn die Laufzeit eines Algorithmus bezüglich einer Problemgröße $n$ mit einem solchen Polynom ausgedrückt werden kann, dann ist es der Klasse P zuzuordnen.
Welche der folgenden Komplexitäten lassen auf Zugehörigkeit zur Klasse P schließen?
<table>
<tr><td>a)</td><td>$\mathcal{O}(1)$</td></tr>
<tr><td>b)</td><td>$\mathcal{O}(n)$</td></tr>
<tr><td>c)</td><td>$\mathcal{O}(log(n))$</td></tr>
<tr><td>d)</td><td>$\mathcal{O}(\frac{2n}{n-1})$</td></tr>
<tr><td>e)</td><td>$\mathcal{O}(n^2)$</td></tr>
<tr><td>f)</td><td>$\mathcal{O}(n\:log(n))$</td></tr>
<tr><td>g)</td><td>$\mathcal{O}(n^{1000000})$</td></tr>
<tr><td>h)</td><td>$\mathcal{O}(1^n)$</td></tr>
</table>
<popup name="Lösung">
Alle
</popup>
'''Deterministisch'''
Der Algorithmus zur Lösung des Problems geht ohne Umwege den kürzesten Weg zum Ziel.

<div style= "background-color:#DDDDDD; padding:10px">
;Zusammenfassung: Durch die Klasse P werden die praktisch effizient lösbaren Probleme zusammengefasst. Dazu wird eine obere Schranke in Form eines Polynoms definiert und Determinismus gefordert, so dass nur Probleme in die Klasse fallen, deren Aufwand im Verhältnis zur Problemgröße ein bestimmtes Maß nicht übersteigt.
</div>

==Die Klasse EXPTIME==
<div style= "background-color:#F5D0A9; padding:10px">
;Definition: EXPTIME ist die Klasse aller Probleme, die mit deterministischen Algorithmen in $\mathcal{O}(2^{p(n)})$ gelöst werden können, wobei $p(n)$ eine Polynomfunktion von n ist.
</div>
Da $p(n)$ auch $0$ sein kann ist die Klasse EXPTIME damit eine Übergruppierung. Das bedeutet, dass P in EXPTIME enthalten ist. P ist dabei eine echte Teilmenge ($P\subset EXPTIME$), denn P ist nach oben begrenzt und es existieren nachweislich Probleme die nur von Algorithmen mit Aufwänden oberhalb dieser Schranke gelöst werden können.<br>
<div style= "background-color:#DDDDDD; padding:10px">
;Beispiel: Wieviele Untermengen der Menge von Zahlen $M=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ lassen sich bilden, deren Summe $0$ ergibt?
* Es müssen alle Untermengen geprüft werden (Potenzmenge $|P(M)|$) 
* $|P(M)| = 2^{|M|} = 2^n \Rightarrow \mathcal{O}(2^n)$
</div>
Für Probleme die einen höheren Aufwand als den exponentiellen für ihre Lösung erfordern, können beliebig Klassen der Form X-EXPTIME formuliert werden. Probleme mit doppelt exponentiellen Aufwand ($\mathcal{O}(2^{n^{n}})$) werden so der Klasse 2-EXPTIME zugeordnet. Analog kann die Klassenformulierung für höhere Aufwände nach dem gleichen Schema fortgesetzt werden. Die jeweilige Klasse wird in entsprechender Exponentationsstufe immer durch eine Polynomfunktion von $n$ begrenzt.
<div style= "background-color:#DDDDDD; padding:10px">
;Zusammenfassung: Alle lösbaren Probleme werden durch die EXPTIME-Klassen abgedeckt. P ist eine echte Teilmenge von EXPTIME.
</div>
Durch die Klassen EXPTIME und P sind alle lösbaren Problem im Prinzip vollständig klassifiziert. Eine weitere Klasse zwischen EXPTIME und P kann jedoch nicht mehr über den rein deterministischen Aufwand zur Problemlösung gebildet werden. Um trotzdem die "einfachereren" von den "schwierigen" EXPTIME Problemen abzugrenzen wird ein weiteres Merkmal zur Klassifizierung herangezogen: der Nichtdeterminismus.

==Die Klasse NP==
<div style= "background-color:#F5D0A9; padding:10px">
;Definition: NP ist die Klasse aller Probleme, die mit '''nicht'''deterministischen Algorithmen in polynomialer Zeit gelöst werden können.
</div>
<div style= "background-color:#DDDDDD; padding:10px">
;Nichtdeterminismus: Ein nichtdeterministischer Algorithmus steuert die Lösung nicht direkt an, sondern er '''sucht''' sie mit der Trial-And-Error Methode.
</div>
Praktisch gibt es keinen Nichtdeterminismus bei der Programmierung eines Algorithmus. Er kann höchstens durch Parallelisierung und Backtracking emuliert werden. Die hier geforderte polynomiale Zeit bezieht sich also nicht auf eine praktische Höchstgrenze. Es geht vielmehr um die Zeit die der Algorithmus benötigen '''würde''', wenn er bei der Suche nach der Lösung in keine Sackgasse geraten '''würde''' und somit einen deterministischen Weg zur Lösung verfolgt '''hätte'''.<br>
Die Ähnlichkeit zur Definition der Klasse P suggeriert eine enge Verwandschaft der beiden Klassen. Aber die Klassen basieren auf unterschiedlichen Merkmalen. Eine laufzeitbezogene Gegenüberstellung der Klassen wie im linken Bild ist also nicht möglich, denn das klassenbildenende Merkmal der NP Klasse erfordert eine andere X-Achse.<br>
[[Bild:RaZ_NPinDeterm.png|600px]][[Bild:RaZ_NPinSet.png|400px]]<br>
Aber die Beziehung zu den Klassen P und EXPTIME lässt sich in einem Venn-Diagramm darstellen. Dass P eine echte Teilmenge von EXPTIME ist, wurde bereits klar gestellt. NP und P überschneiden sich nicht. Da ein Problem immer mit seinem effizientesten Lösungsalgorithmus bewertet wird, kann ein Problem, dass nur nichtdeterministisch in polynomialer Zeit gelöst werden kann, nicht gleichzeit deterministisch in Polynomialzeit gelöst werden. Denn dann wäre letzere Lösung die effizientere und das Problem wäre de facto ein Problem der Klasse P.<br>

Das besondere an nichtdeterministische Algorithmen mit polynomialer Laufzeit ist, dass der Weg zum deterministischen Algorithmus mit polynomialer Laufzeit recht kurz ist. Man müsste nur wissen welcher der richtige Weg zum Ziel ist, also wissen wie das "Orakel" funktioniert, also eine Art "Trial-'''Ohne'''-Error" Methode benutzen.<br>
Ob so eine Methode möglich ist, ist eine der derzeit wichtigsten Fragen der theoretischen Informatik.

==P=NP?==
Im Jahr 2000 hat das Clay Mathematics Institute in Cambridge ein Preisgeld von 1 Million Dollar für die Lösung von einem der sogenannten Millenium Probleme ausgelobt. Eines der 7 Probleme wurde 2002 bereits gelöst. Die Lösung des $P=NP$ Problems steht noch aus.<br>


==Polynomiale Reduktion==
==NP-Schwere==
==NP-Vollständigkeit==
==Satz von Steven A. Cook==