Teile und Herrsche
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<language>Scheme</language>
== <font color="green"> '''Teile und herrsche (Divide and conquer)''' </font> ==
=== Definition ===
<center>
<div style= "background-color:#D6D6C2; padding:10px">
Das Entwurfsverfahren <font color="green"> '''Teile und Herrsche'''</font> dient dem Entwurf rekursiver Algorithmen.
Die Idee ist es, ein Problem der Groeßen in mehrere gleichartige aber kleinere Teilprobleme zu zerlegen (<font color="green"> '''divide'''</font>).
Aus rekursiv gewonnenen Lösungen der Teilprobleme (<font color="green"> '''conquer'''</font>) gilt es dann, eine Gesamtlösung für das ursprüngliche Problem zusammenzusetzen .
</div>
<br>
[[Bild:S3anbrem_Anw.PNG]]
</center>
=== Entwurfsmethode für Algorithmen ===
1. <font color="green"> '''Teile''' </font> das Problem in kleinere Unterprobleme (Divide) <br>
2. <font color="green"> '''Löse''' </font> rekursiv die entstehenden Unterprobleme (Conquer) <br>
3. <font color="green"> '''Setze''' </font> die Lösungen zusammen.<br>
=== Eigenschaften ===
<ul>
<li>
kann bei konzeptionell schwierigen Problemen hilfreich sein
<li>
kann effiziente Lösungen realisieren
<li>
für Parallelverarbeitung geeignet
</ul>
=== Beispiele ===
==== Beispiel 1 : Sortierverfahren (Merge-Sort) ====
* Sortiere eine Array indem zwei Teilarrays sortiert und dann gemischt werden. <br>
'''sort''' ( [ <font color="green"> '''19 17 23 31 3''' </font> <font color="yellow"> '''5 7 29 2 11 17''' </font> ] ) Teile! <br>
=> '''merge''' ( <br>
'''sort''' ( [ <font color="green"> '''19 17 23 31 3''' </font> ] ), Herrsche über Teilproblem 1 <br>
'''sort''' ( [ <font color="yellow"> '''5 7 29 2 11 17''' </font> ] ) ) Heersche über Teilproblem 2 <br>
= '''merge''' ( [ 3 17 19 23 31 ] , [ 2 5 7 11 17 29 ] ) Kombiniere zur Gesamtlösung <br>
= [ <font color="red"> ''' 2 3 5 7 11 17 17 19 23 29 31 ''' </font> ]
==== Beispiel 2 : Die Türme von Hanoi ====
<popup name="Die Spielregeln">
Es sind '''n''' Scheiben unterschiedlichen Durchmessers gegeben, welche geordnet zu einem Turm geschichtet sind, die untere Scheibe ist die größte. Der Turm steht auf einem '''Anfangsplatz'''. Unter Verwendung eines '''Hilfsplatzes''' soll dieser Turm nun zu einem '''Zielplatz ''' transportiert werden, wobei verschiedene Regeln einzuhalten sind.
</popup>
Wenn die Anzahl der Scheiben '''1''' beträgt, ist die Lösung des Problems '''trivial'''. <br>
Bei mehr als einer Scheibe läßt sich das Gesamtproblem in drei Teilprobleme zerlegen:
* Transportiere <font color="green"> '''n-1'''</font> Scheiben vom <font color="green"> '''Anfangsplatz'''</font> auf den <font color="green"> '''Hilfsplatz'''</font>.
* Transportiere die letzte Scheibe vom <font color="green"> '''Anfangsplatz'''</font> auf <font color="green"> '''Zielplatz'''</font>.
* Transportiere <font color="green"> '''n-1'''</font> Scheiben vom <font color="green"> '''Hilfsplatz'''</font> auf den <font color="green"> '''Zielplatz'''</font>.
[[Bild:S3anbrem_Azh.PNG]]
=== Übung 1 : Die Türme von Hanoi ===
* Transportiere n Scheiben vom Anfangsplatz auf den Zielplatz, verwende einen Hilfsplatz.
<br>
[[Bild:S3anbrem_U1.png]]
<popup name="Lösung">
[[Bild:S3anbrem_B4.PNG]]
</popup>
=== Übung 2 : Hanoi Java-Code ===
==== Pseudo - Code ====
<code id="5686b20aa7bbc">
procedure turm(ap,zp,hp,n:byte);
begin
if n=1 then
writeln(' Scheibe von Platz ',ap,' auf Platz ',zp)
else begin
turm(ap,hp,zp,n-1);
writeln(' Scheibe von Platz ',ap,' auf Platz ',zp);
turm(hp,zp,ap,n-1);
end;
end;</code>
<popup name = "Bedeutung der Variablen:">
<center>
ap - Anfangsplatz <br>
zp - Zielplatz <br>
hp - Hilfsplatz <br>
n - Anzahl der Scheiben <br>
Die Übergabe des Hilfsplatzes als Parameter kann auch entfallen, wenn man als Berechnung einsetzt: <br>
hp := 6 - ap - zp. <br>
</center>
</popup>
==== Java-Code ====
* Auf der Grundlage diese Pseudocode schreiben Sie Java-Code für Hanoi. <br>
* Denken Sie auch an der Klasse '''Main''', welche wird die Methode '''turm''' benutzen. <br>
<code id="5688ea23bbf1b">... </code>
==== Spiele ====
http://www.gf-webdesign.de/tuerme-von-hanoi/tuerme-von-hanoi.htm
== Quicksort ==
===Das Verfahren===
<div style= "background-color:#D6D6C2; padding:10px">
Quicksort ist ein schneller Sortieralgorithmus auf der Basis rekursiver Vergleiche von Elementen, welcher von C.A.O Hoare im Jahre 1960 entwickelt wurde.<br><br>
Das Prinzip ist eine gegebene Gesamtliste $G$ so in zwei Teillisten $L$ und $R$ auf zuteilen, dass alle Elemente von $L$ kleiner (oder gleich) als ein Vergleichselement(Pivotelement) $v \in G$
und alle Elemente von $R$ größer (oder gleich) als $v$ sind.
Im Anschluss wird auf jede der so enstandenen Teillisten der Quicksortalgorithmus angewandt, wodurch sich die rekursive Verarbeitung ergibt .
Letzlich setzt man die einzelnen Teillisten zu der sortierten Gesamtliste $G$<sub>$sortiert$</sub> zusammmen und zwar genau in der Form:<br>
$G$<sub>$sortiert$</sub> = $L$<sub>$sortiert$</sub> $v$ $R$<sub>$sortiert$</sub>
</div>
===funktionaler Aufbau===
<code>(define teillisten
(lambda (ls v)
(if (null? ls)
(values '() '())
(call-with-values
(lambda () (teillisten (cdr ls) v))
(lambda (l r)
(let ((x (car ls))
(if (< x v)
(values (cons x l) r)
(values l (cons x r)))))))))</code><br>
<div style= "background-color:#D6D6C2; padding:10px">
Durch diese Prozedur entstehen die zwei Teillisten $L$ und $R$, die für die Unterscheidung der Relation in Bezug auf das Pivotelement benötigt werden.<br><br>
Um nun den Algorithmus richtig anwenden zu können, bedarf es einer weiteren Prozedur, die die Vorhergehende immer wieder rekursiv aufruft und dabei jeweils auf $L$ und $R$
quicksort anwendet um diese zu sortieren.
</div>
<code>(define quicksort
(lambda (ls)
(if (or (null? ls) (null? (cdr ls)))
ls
(let ((v (car ls)))
(call-with-values
(lambda() (teillisten (cdr ls) v))
(lambda (l r)
(append
(quicksort l)
(list v)
(mv-quick r))))))))</code>
===Viualisierung===
Die folgende Animation zeigt den verbildlichten Ablauf des Algorithmus:
[[Bild:quicksort_animation.gif]]
===Beispiel===
===Effizienz von Quicksort===
== <font color="green">'''Mergesort''' </font> ==
=== Definition ===
<div style= "background-color:#D6D6C2; padding:10px">
* <font color="green">'''Das Sortierverfahren Mergesort'''</font> erzeugt eine sortierte Folge durch <font color="green">'''Verschmelzen'''</font> sortierter Teilstücke.
* Das Verfahren beruht auf dem <font color="green">''' Divide-and-Conquer-Prinzip''' </font> Erklärung.
* Die zu sortierende Folge wird zunächst in zwei Hälften aufgeteilt (<font color="green">'''divide'''</font>), die jeweils für sich sortiert werden (<font color="green">'''conquer'''</font>).
* Dann werden die sortierten Hälften zu einer insgesamt sortierten Folge verschmolzen (<font color="green">'''combine'''</font>).
* Dieses Verfahren bietet die Möglichkeit einer iterativen Implementierung.
</div>
=== Vorteile ===
* Geschickter Einsatz der '''Teile-und-Herrsche''' Technik.
* Gutes '''Laufzeitverhalten''' für große Eingabegrößen <br>
Sei <font color="green">'''$\mathit{T}\left(n\right)$''' </font> die Laufzeit von Merge-Sort.<br>
Das <font color="green">'''Aufteilen''' </font> braucht '''$\mathcal{O}\left(1\right)$''' Schritte.<br>
Die <font color="green">'''rekursiven Aufrufe''' </font> brauchen $ 2\cdot \mathit{T}\left(\frac{n}{2}\right) $ Schritte.<br>
Das <font color="green">'''Mischen''' </font> braucht '''$\mathcal{O}\left(n\right)$''' Schritte. <br>
Um Mergesort zu analysieren, ist die Rekursionsgleichung : <font color="red">'''$\mathit{T}\left(n\right) = 2\cdot \mathit{T}\left(\frac{n}{2}\right) + \mathcal{O}\left(n\right)$'''</font>, wenn n > 1 .<br><br>
<font color="green">'''Best-Case'''</font>: $\mathit{T}\left(n\right) = \mathcal{O}\left(n \log n\right)$ <br> <font color="green">'''Worst-Case'''</font>: $\mathit{T}\left(n\right) = \mathcal{O}\left(n \log n\right)$
* Die '''Stabilität'''
Die relative Ordnung zweier Elemente , welche gleich sind , wird beibehalten.
* Abarbeiten Daten '''sequentiell. '''
=== Nachteile ===
* der zusätzlich benötigte '''Speicher'''
=== Anwendung ===
* Der Mergesort wird vor allem dann verwendet, wenn man eine große sortierte Datenmenge verwalten möchte.
=== Viualisierung , Simulation, Animation===
[[Bild:S3anbrem_Mergesort-o.gif]]<br>
[http://palash90.in/tools.html#/algorithms/mergeSort]
[http://www.ee.ryerson.ca/~courses/coe428/sorting/mergesort.html]
=== Pseudocode ===
<code id="568ba6a3cd536">
funtion mergesort( liste ):
if liste.laenge <= 1 then
return liste;
else
linkeListe = liste[0] bis liste[laenge/2];
rechteListe = liste[laenge-(laenge/2)] bis liste[laenge-1];
linkeListe =mergesort(linkeListe);
rechteListe=mergesort(rechteListe);
return merge(linkeListe, rechteListe);
end
</code>
=== Beispiele ===
==== Beispiel 1 ====
[[Bild:S3anbrem_Msb1.PNG]]
==== Beispiel 2 ====
<ul>
<li> Analogie: Sortieren eines Kartenstapels<br>
<li> Karten sind mit Zahlen beschriftet<br>
</ul>
[[Bild:S3anbrem_Merrge-sort-beispiel-1.PNG|130px]]
<br>
'''Schritt 1 :''' Teile den Stapel in zwei gleich grosse Stapel.
<br>
[[Bild:S3anbrem_Ms2.png]]
<br>
'''Schritt 2 :''' Sortiere beide Stapel getrennt.
<br>
[[Bild:S3anbrem_Ms3.PNG]]
<br>
'''Schritt 3 :''' Mische die beiden sortieren Stapel zu einem sortieren Stapel : lege dazu jeweils die kleinere der beiden oberen Karten <i> umgedreht </i> auf einen neuen Stapel. <br>
[[Bild:S3anbrem_Ms4.png]]
<br>
=== Übungen ===
==== Übung 1 ====
* Sortieren Sie ein Array. <br>
[[Bild:S3anbrem_Merge-sort-bsp1.PNG]] <br>
<popup name="1. Aufteilen der Eingabe">
[[Bild:S3anbrem_Merge-sort-bsp1b.PNG]] <br> <br>
[[Bild:S3anbrem_Merge-sort-bsp1c.PNG]] <br> <br>
[[Bild:S3anbrem_Merge-sort-bsp1d.PNG]] <br> <br>
</popup>
<popup name="2. Teilen, Sortieren und Mischen der Eingabe">
[[Bild:S3anbrem_Merge-sort-bsp1e.PNG]] <br> <br>
</popup>
<popup name="3. Mischen der Eingabe">
[[Bild:S3anbrem_Merge-sort-bsp1f.PNG]] <br> <br>
</popup>
<popup name="4. Ergebnis">
[[Bild:S3anbrem_Merge-sort-bsp1g.PNG]] <br> <br>
</popup>
== Zusammenfassung ==
<ul>
<li>'''Teile und Herrsche''' - Zerlegung größerer Aufgaben oder Probleme in kleinere Aufgaben oder Probleme, die einfacher zu bewältigen oder leichter gelöst werden können.
<li> '''Mergesort''' - ein schnelleres (und rekursives) '''Sortierverfahren'''.
* Ein Feld wird in zwei Teilfelder aufgeteilt, die dann rekursiv sortiert werden. Anschließend werden diese sortierten Teilfelder wieder zu einem Feld zusammengefügt. Dabei macht man sich zu nutze, daß die beiden Teilfelder bereits sortiert sind.
* Mit einer Zeitkomplexität von Θ(n log(n)) ist das Verfahren immer '''optimal'''.
<li> http://www.sorting-algorithms.com/
</ul>
==== Übung 2 ====
* Sortieren Sie eine Array indem zwei Teilarrays sortiert und dann gemischt werden. <br>
[[Bild:S3anbrem_B1a1.PNG]]
<popup name="1. Aufteilen der Eingabe">
[[Bild:S3anbrem_B1a.png]]
</popup>
<popup name="2. Rekursiv Sortieren">
[[Bild:S3anbrem_B1b.png]]
</popup>
<popup name="3. Zusammenfügen">
[[Bild:S3anbrem_B1c.png]]
</popup>
==== Übung 3 ====
Sortieren Sie die Buchstaben in der Zeichenkette aus Ihrem zusammengeschriebenen Vor- und Nachnamen mit Merge Sort.
==== Übung 4 ====
<popup name="MergeSort-JavaCode">
1. Implementieren Sie eine Klasse '''„MergeSort"'''. <br>
2. Implementieren Sie in der Klasse eine Methode''' „sort“''' mit den Parameter:<br>
</popup>
<popup>
1. Implementieren Sie eine Methode '''generateRandomNumbers''' ,welche wird den Zufallszahlengenerator, mit dem Parameter '''n'''. <br>
2. Definieren Sie eindimensionales Array und initialisieren als das Array mit '''n'''. <br>
3. Benutzen Sie Random . <br>
4. Implementieren Sie die Schleife , welche sucht die Zahlen und speichert diese Zahlen in Array. <br>
5. Die Methode soll am Ande unseres Resultat zurückgeben.<br>
</popup>
== Binäres Suchen ==
== Quellen ==
Wagenknecht, 2003, Algorithmen und Komplexität <br>
Cormen, Leierson, Rivest und Stein, 2004, Algorithmen - Eine Einführung <br>
http://www.inf-schule.de/ <br>
http://www.awb1.ch/ <br>
http://www.ki.informatik.uni-frankfurt.de/ <br>
http://ddi.cs.uni-potsdam.de/ <br>
http://thm.de/ <br>
http://de.wikiversity.org/ <br>
http://www.roland-illig.de/ <br>