Euler-Kreise und -Wege

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Patrick Schmidt (Euler Wege, Algorithmus von Hierholzer,Fleur,Postprobem Definition)
Kevin Richter (Einführung, Euler Kreise, Postbotenproblem(Algorithmus))
= <b><font color="black">Einführung</font color></b>=
== <b><font color="blacjavascript:openUploadWindow()k">Leonhard Euler </font color></b>==
Allgemeines über Euler:
<ul>
<li>geboren am 15. April 1707 in Basel</li>
<li>gestorben  am 18. September 1783 in Sankt Petersburg</li>
<li>war ein Physiker und Mathematiker</li>
<li>befasste sich mit vielen Themen der Analysis, Zahlentheorie</li>
</ul>

== <b><font color="black">Königsberger Brückenproblem</font color></b>==
Das Problem bestand darin, zu klären, ob es einen Weg gibt, bei dem man alle sieben Brücken genau einmal überquert, und wenn ja, ob auch ein Rundweg möglich ist, bei dem man wieder zum Ausgangspunkt gelangt

= <b><font color="black">Euler-Graphen </font color></b>=
Was sind Euler-Graphen?<br>
Eulersche Graphen sind Graphen bei denen alle Kanten in einem Graphen einmal Durchlaufen werden.<br>
<br>Ist folgender Graph eulersch?
[[Bild:eulergraph.PNG]]
<popup name="Antwort">
[[Bild:eulergraph_lsg.PNG]]<br>
Antwort: Der Graph ist nicht eulersch, da nicht alle Kanten des Graphen in einem Zug miteinander verbunden werden können.
</popup>
== <b><font color="black">Euler Wege </font color></b>==
* Ein Euler Weg oder auch offener Eulerzug, ist in der Graphentheorie die Bezeichnung für eine Kantenfolge eines Graphen, bei der jede Kante genau einmal durchlaufen wird.
* Dabei sind der Start- und Endknoten nicht identisch bzw. die Identität wird nicht verlangt.
* Darüberhinaus enthält ein zusammenhängender, ungerichteter Graph genau dann einen Eulerweg, wenn der Gaph genau zwei Knoten mit ungeraden Grad besitzt.
* In diesem Fall markieren diese beiden Knoten den Anfangs- bzw. Endeknoten des Graphen.
* Insofern ein Graph nur einen Eulerweg besitzt, bezeichnet man ihn als Semieulersch.

=== <b><font color="black">Haus vom Nikolaus</font color></b>===
Ein altes, aber heute noch präsentes <u>Kinderrätzel</u>: "Das-ist-das-Haus-des-Ni-ko-laus"
*Gegeben sei ein Graph G(V,E) mit V=8 und E=5:
[[Bild:nikolaus_haus.gif]] [[Bild:nikolaus_haus.png]]
* Ziel hierbei ist es, alle Kanten des Graphen miteinander zu verbinden ohne Abzusetzen.
* Versuchen Sie es: Zeichen Sie diesen Graphen nach der vorgegebenen Zielstellung. Was fällt ihnen auf?
* Stichwort: Start-,Endknoten; Anzahl Möglichkeiten; Erfolgsrate
* Dieser Graph enthält also einen Eulerweg, wobei sich besonders hier die Bedeutung des Knotengrades zeigt.
<popup name="Erklärung">
# Warum funktioniert das?
# Wie viele Möglichkeiten gibt es überhaupt das Haus zu zeichen?

----
Zu 1.:
* Um dies zu klären muss man zunächst noch einmal den Begriff Knotengrad erläutern.
* Der Grad d<sub>G</sub>(v) eines Knotens ist die Anzahl der Kanten die mit einem Knoten verbunden sind.
* Nun zur Erklärung:
* Man betrachtet alle Knoten des Graphen mit ihrem Kotengrad, folgende Übersicht entsteht:
{| class="wikitable"
|-
| '''Knoten''' || 1 || 2 || 3 || 4 || 5
|-
| '''d<sub>G</sub>(v)''' || 3 || 3 || 4 || 4 || 2
|}
* Ein gerader Knotengrad bedeutet immer, dass dieser Knoten so oft betreten werden kann wie er verlassen wird und umgekehrt.
* Bei einem ungeraden Knotengrad kann der Knoten einmal mehr verlassen oder betreten werden.
* D.h. in diesem Beispiel gibt je zwei Durchlaufstationen in 3 und 4, sowie eine in 5.
* In den Knoten 1 und 2 allerdings existierten je zwei Durchlaufstationen und zusätzlich eine End- bzw. Startstelle. 
* Unter diesen Umständen muss also, bei diesem Eulerweg, der Graph in 1 oder 2 beginnen bzw. enden.

Zu 2.:
* Bei dem Haus vom Nikolaus gibt es insgesamt 44 Möglichkeiten dieses zu zeichnen, vorrausgestzt man startet immer im Knoten 1 und endet in 2.
* Andernfalls gibt es 88 Möglichkeiten aufgrund der Symmetrie.

</popup>

== <b><font color="black">Euler Kreise </font color></b>==
=== <b><font color="black">Beispiel</font color></b>===


= <b><font color="black">Algorithmen</font color></b>=
== <b><font color="black">Algorithmus von Hierholzer</font color></b>==
== <b><font color="black">Algorithmus von Fleury</font color></b>==
= <b><font color="black">Das Postbotenproblem</font color></b>=
Allgemein: Das Postbotenproblem beschäftigt sich damit alle Kannten im Graphen <em>genau ein mal</em> entlang zu laufen.
== <b><font color="black">Definition</font color></b>==
== <b><font color="black">Algorithmus</font color></b>==
= <b><font color="black">Quellen</font color></b>=
* https://de.wikipedia.org/wiki/Eulerkreisproblem
* Wessler_Graphen-und-Netzwerktheorie, André Krischke, Helge Röpcke
* Algorithmen und Komplexität, Christian Wagneknecht