Grundbegriffe der Graphentheorie 2
Aus ProgrammingWiki
Wiki-Quelltext dieser Seite.
Maik Geier,
Anna Bremensztul
Ich: <br>
- Die Einführung und eine kleine Wiederholung<br>
- Bipartiter Graph<br>
- Baeume + Waelder <br>
Maik : <br>
-Gerichtete Graphen und Multigraphen <br>
- Bewertete Graphen <br>
- Gozinto-Graphen<br>
Zusammen: <br>
- Zusammenfassung<br>
- Uebung <br>
== <b><font color="green">Die Einführung und eine kleine Wiederholung </font color></b>==
<ul>
<li><font color="green"><b>Die Graphentheorie </b></font color> ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Eigenschaften von Graphen und ihre Beziehungen zueinander untersucht.<br>
<li><font color="green"> <b>Ein Graph </b></font color> besteht aus einer Menge von Punkten (Knoten,Ecken) zwischen denen Linien(Kanten, Bögen) verlaufen.
<li><font color="green"> <b> Der Grad eines Knotens </b></font color> ist die Summe der Kardinalitäten der Mengen von geordneten Paaren, welche in E enthalten sein müssen, die diesen Knoten als erstes oder zweites Paarelement haben. <br>
</ul>
[[Bild:S3anbrem_1.png]]
<br>
<br>
<ul>
<li> <font color="green"> <b> Isomorphie </b></font color> --> Gleichstrukturiertheit von Graphen G∼G′ <br>
</ul>
[[Bild:S3anbrem_Isom.JPG]]
<br>
{| class="wikitable"
|-
! !! G1 !! G2 !! G3 !! G4!!
|-
|G1 || <popup>-</popup>|| <popup>ja</popup> || <popup>ja</popup> ||<popup>nein</popup>
|-
|G2 || <popup>ja</popup>|| <popup>-</popup> || <popup>ja</popup>|| <popup> nein </popup>||
|-
|G3 || <popup>ja</popup>|| <popup>ja</popup> || <popup>-</popup> ||<popup>nein</popup>
|-
|G4 || <popup>nein</popup>|| <popup>nein</popup> || <popup>nein</popup> ||<popup>-</popup>||
|}
<ul>
<li> In der Graphentheorie bezeichnet <font color="green"> <b> Weg, Pfad, Kantenzug oder Kantenfolge </b></font color> eine Folge von Knoten, in welcher jeweils zwei aufeinander folgende Knoten durch eine Kante verbunden sind.
</ul>
<b>Wo können wir die verschiedene Graphen benutzen?</b>
<i> „In der Mathematik ist die
Kunst des Fragestellens öfter gebräuchlich als die
des Lösens!“ </i> <br>
<ul>
<li> Verkehrswege zwischen Städten – kürzeste Wege<br>
<li> Transportwege mit Kapazitäten – maximale Flüsse<br>
<li> Zugmöglichkeiten in Spielen – Gewinnstrategien<br>
<li>Beispiele dafür sind auch die Netzwerke(Verkehr, Daten), Datenstrukturen oder Rechnerarchitektur.
</ul>
[[Bild:S3anbrem_Anw.JPG|500px]]
<br>
<b> Wir können verschiedene Darstellungen von Graphen benutzen: </b><br>
1. Darstellung als <b>Zeichnung</b>:<br>
[[Bild:S3anbrem_Darstellung1.JPG]]
<br>
2. Darstellung als <b> Adjazenzmatrix</b> <br>
Jedem Knoten wird eine Zeile und eine Spalte
zugeordnet und der Eintrag in der Zeile von u und der Spalte von v wird 1 gesetzt,
wenn {u, v} eine Kante des Graphen ist (sonst 0):<br>
[[Bild:S3anbrem_Adj1.JPG|300px]][[Bild:S3anbrem_Adj2.JPG|300px]]
<br>
3. Darstellung als <b>Adjazenzliste</b>.<br>
Für jeden Knoten wird die Liste seiner Nachbarn
angegeben (Liste von Listen).
<br>[[Bild:S3anbrem_Adj3.JPG|1000px]]<br><br>
Für die Behandlung algorithmischer Probleme sind oft <b>Adjazenzlisten</b> die Datenstruktur
der Wahl, weil sie die wahre Größe eines Graphen (Anzahl der Kanten) widerspiegeln.
<br>
<br><br>
[[Bild:S3anbrem_W123.JPG|800px]]
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Die Klassenkameraden haben im vorigen Woche eine Vollständige Graphen vorgestellt und Grundbegriffe der Graphentheorie erklärt.
Ein Graph heißt <b>vollständig</b>, wenn jede Ecke mit jeder anderen durch genau eine Kante verbunden ist.
Das heißt, bei einem vollständigen Graphen sind je zwei Ecken verbunden, aber nur durch eine Kante. Der vollständige Graph mit n Ecken wird mit K_n bezeichnet.<br>
[[Bild:S3anbrem_VollständigerGraph.png]]
<b> Dagegen möchten wir heute andere Typen von Graphen vorstellen.</b> <br>
1. Bipartite Graphen.<br>
2. Gerichtete Graphen und Multigraphen<br>
3. Bewertete Graphen <br>
4. Bäume und Wälder<br>
5. Gozinto-Graphen<br>
<br>
== <font color="green"><b>Bipartite Graphen</b></font color> ==
<center><b> Ein bipartiter oder paarer Graph ist ein mathematisches Modell für Beziehungen zwischen den Elementen zweier Mengen.</b>
</center>
<center>
</center>
===<i>Definitionen</i>===
<b>Bipartiter Graph</b><br>
Ein Graph '''G = (V,E)''' ('''V''' Menge der Knoten, '''E''' Menge der Kanten) heißt <i>bipartit</i>, wenn man seine Knoten so in zwei Teilmengen <font color="red">S</font color> und <font color="blue">T</font color> aufteilen kann, das gilt:
<ul>
<li> <font color="red">S</font color> und <font color="blue">T</font color> besitzen keine gemeinsames Element (disjunkt) und ergeben zusammen alle Knoten
<li> Kanten verlaufen immer nur von einer Teilmenge zur Anderen.
Zwischen den Knoten, innerhalb beider Teilmengen, verlaufen keine Kanten
</ul>
<popup name="*">
[[Bild:S3anbrem_Def.JPG]]
</popup>
<center>
[[Bild:S3anbrem_1234.JPG|1000px]]
</center>
===<b>Vollständig Bipartit</b><br>===
Der Graph '''G''' heißt <i>vollständig bipartit</i>, wenn jeder Knoten aus <font color="red">S</font color> mit jedem Knoten aus <font color="blue">T</font color> verbunden ist.
<br>
[[Bild:S3anbrem_Cb.png]] [[Bild:S3anbrem_Cb2.png]][[Bild:S3anbrem_Vb.JPG]]
<br>
BEM: Der vollständige andige bipartite Graph K_m,n hat genau m + n Ecken und m · n Kanten<br>
Einen solchen Graphen bezeichnet man auch als K{m,n}, wobei m und n jeweils die Anzahl der Knoten von <font color="red">S</font color> und <font color="blue">T</font color> sind. Die Kantenanzahl des vollständigen bipartiten Graphen lässt sich mit folgender Formel berechnen:<br>
<center>
[[Bild:S3anbrem_Bip3.jpg]]
</center>
Ein vollständig bipartiter Graph, bei dem m=1 oder n=1 ist, heißt <i><b>Sterngraph </b></i>.<br>
[[Bild:S3anbrem_Pa.JPG]]
<br>
===<b>n-partit</b><br>===
Ein n- partiter Graph G = (V,E) ist ein Graph, dessen Knotenmenge in <math>n</math> Teilmengen unterteilt werden kann, sodass es keine Kante zwischen zwei Knoten der selben Teilmenge gibt.
Einen n-partiten Graph mit maximal möglicher Kantenzahl nennt man ebenfalls vollständig n-partit und bezeichnet ihn mit K{r...rn}
<center>
[[Bild:S3anbrem_Bip1.JPG]]<br>
</center>
=== <i>Eigenschaften</i> ===
<ul>
<li>Ein Graph ist genau dann bipartit, wenn es <i>keinen</i> aus einer ungeraden Anzahl von Kanten bestehenden geschlossenen Weg gibt.
<li> Bei einem zusammenhaengenden bipartiten Graphen ist die Zerlegung V=S u T eindeutig bestimmt.
<li> Ist G=(V,E) bipartit mit V = S u T , so gilt:
Bei einem aus einer geraden Anzahl von Kanten bestehenden Weg gehoeren Start- und Endpunkt zur selben Menge S oder T, bei einem aus einer ungeraden Anzahl von Kanten bestehenden Weg gehoeren Start- und Endpunkt zu verschiedenen Mengen.<br>
</ul>
<br>
=== Ein Baum,als bipartiter Graph gezeichnet. ===
[[Bild:S3anbrem_Bg.JPG|500px]]
=== Anwendung ===
Biparität eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen (Optimierungsproblem). Des Weiteren lassen sich für bipartite Graphen viele Grapheneigenschaften mit deutlich weniger Aufwand berechnen als dies im allgemeinen Fall möglich ist.<br>
'''[[Beispiel 1 : Parlamentsproblem]]'''
<br>
<b>gegeben:</b>
<ul>
<li>eine Menge P = { p1,...,pk } von Personen
<li> eine Menge M = { g1,...,gn } von Gruppen, wobei jede Gruppe eine Teilmenge von P
</ul>
<b>gesucht:</b>
<ul><li> eine Auswahl von n Personen, wobei jede Person als Repräsentant einer Gruppe fungiert
</ul>
<br>
<ul>
<li> je Gruppe gibt es einen weißen Knoten
<li> je Person gibt es einen gelben Knoten
<li> zwischen einem weißen und einem gelben Knoten gibt es genau
dann eine Kante, falls die jeweilige Person Mitglied der Gruppe ist
</ul>
[[Bild:S3anbrem_B_anw0.JPG]]
<ul>
<li> offenbar kann man das Parlamentsproblem für dieses Beispiel lösen
<li>offenbar genügt es ein Matching zu finden, welches genauso viele
Kanten hat, wie es Gruppen gibt <br>
</ul>
[[Bild:S3anbrem_B_anw.JPG]]
<br>
'''[[Anwendung 2 - Bipartites Matching]]'''
1. Ein Matching ist definiert als eine Auswahl von Kanten, so
dass jeder Knoten zu maximal einer Kante inzident ist<br>
2. Ein Matching ist maximal, wenn die Anzahl der ausgewählten
Kanten maximal ist<br>
3. Beispiel:
Männer und Frauen nehmen an einem Tanzkurs teil. Es sollen
möglichst viele Paarungen gebildet werden, jedoch keine bei
denen sich Mann und Frau nicht mögen. Wieviele Paarungen
kann man maximal bilden?<br>
[[Bild:S3anbrem_12345617890.JPG]]
<ul>
<li>Das Problem lässt sich auf ein Flussproblem zuruckführen ¨
<li>Dazu muss der Graph folgendermaßen transformiert werden:
- Füge eine Quelle hinzu und verbinde alle Knoten der ersten Menge durch eine gerichtete Kante <br>
- Fuge eine Senke hinzu und verbinde alle Knoten der zweiten ¨Menge durch eine gerichtete Kante <br>
- Ersetze die ungerichteten Kanten zwischen den beiden Mengen durch gerichtete Kanten <br>
- Weise jeder Kante das Gewicht 1 zu <br>
<li>Berechnet man auf diesem Graphen den maximalen Fluss,
erhält man das maximale bipartite Matching
</ul>
<br>
[[Bild:S3anbrem_12.JPG]]
<br>
'''[[Beispiel zu Bipartität]]'''<br>
In einem Dorf gibt es drei Häuser und drei Brunnen. Jedes der Häuser soll nun mit jedem der
Brunnen durch einen Weg verbunden werden. Modelliert man dieses Problem mithilfe eines Graphen.<br>
<center>
[[Bild:S3anbrem_Bip2.jpg]]
</center>
<ul>
<li> Dieser Graph kommt auch als sogenannter <b> GEW-Graph</b> vor. Dieser Name basiert auf einer äquivalenten Realisierung des Problems mit drei Häusern und Werken für Gas, Elektrizität und Wasser.
<li>
Die Menge der 6 Knoten lässt sich in 2 Teilmengen einteilen: die Häuser und die Brunnen. Dazwischen werden Kanten gezeichnet, aber innerhalb der Teilmengen finden sich keine Kanten: Kein Haus soll etwa mit einem anderen verbundenwerden.
</ul>
=== Konstruktion einer Zerlegung V = S u T ===
G = (E, K) sei ein bipartiter Graph mit der disjunkten Zerlegung E = U ∪ V der Eckenmenge E von G. Dann hat jeder Kantenzug zwischen zwei Ecken aus U (bzw. V ) eine gerade Lange. Insbesondere gibt es in einem bipartiten Graphen keine Kreise ungerader Laenge.<br>
- durch Markierung der Knoten eines zusammenhängenden (ungerichteten) Graphen:<br>
# Markiere einen (beliebigen) Startknoten mit s.<br>
# Markiere alle Nachbarknoten des Startknotens mit t.<br>
# Markiere alle noch unmarkierten Knoten, die einen mit t markierten Nachbarknoten haben, mit s, sowie alle noch unmarkierten Knoten, die einen mit s markierten Nachbarknoten haben, mit t.<br>
# Wiederhole Schritt 3 so lange, bis entweder<br>
- alle Knoten markiert sind oder <br>
- zwei benachbarte Knoten die gleiche Markierung haben.In diesem Fall ist der Graph nicht bipartit und der Algorithmus kann abgebrochen werden.
<br>
=== <b> Kantenanzahl des vollständigen bipartiten Graphen </b> ===
<center>
[[Bild:S3anbrem_Bip3.jpg]]
</center>
<b>
Die Anzahl der Graphen</b> mit
<math> n </math> = 1,2,,... Knoten betragt 1, 2, 3, 7, 13, 35, 88, 303<br>
[[Bild:S3anbrem_BipartiteGraphs.gif]]<br>
<b>Die Anzahl der Verbindung</b> für <math> n </math> = 1,2,... betragt 1,1,1,3,5,17,44.<br>
[[Bild:S3anbrem_BipartiteGraphs2.JPG]]
=== Übung ===
[[1.]] Ist diese Graph bipartite?
[[Bild:S3anbrem_Bn.png]]
<popup name="*">
Nein.
</popup>
[[Bild:S3anbrem_Bj.png]]
<popup name="*">
Ja, weil wir mit diese Graph zeigen können :
[[Bild:S3anbrem_Bj2.JPG]]
</popup>
<br>
<br>
[[2.]] Fünf Jugendliche treffen sich zu einem gemeinsamen Frühstück. Jeder bringt etwas mit. Dazu wird eine Liste angelegt:<br>
<b> Steffi </b> Brötchen , Tee <br>
<b> Niko </b> Butter, Marmelade <br>
<b> Robert </b> Marmelade, Saft <br>
<b> Anja </b> Milch,Tee <br>
<b> Lars </b> Käse ,Brötchen <br>
<b> ? </b> Kaffe <br>
<br>
Man kann statt der Liste auch einen Graphen zeichen: <br>
<popup name="*">
[[Bild:S3anbrem_Bbsp.JPG]]
</popup>
<br>
Ist diese Graph bipartit?
<popup name="*">
In unserem Beispiel gibt es keine Kanten zwischen den Leuten und keine Kanten zwischen den Lebensmitteln, also ist der Graph bipartit.
</popup>
<br>
Der Vorteil des Graphen ist, dass man ihn in zwei Richtungen lesen kann: Man sieht nicht nur, was die einzelnen Personen mitbringen, sondern man sieht auch auf einem Blick, wer eine bestimmte Speise mitbringt.
<br>Der Graph enthält zwei Sorten von Ecken: Leute und Lebensmittel. Und Kanten gibt es nur zwischen Leuten und Lebensmittel.
[[3.]]
[[Bild:S3anbrem_Graph34.gif]]<br>
Wieviele Zusammenhangskomponenten hat der Graph? <br>
<popup name="*">
2
</popup>
Ist der Graph bipartit?<br>
<popup name="*">
Nein, es gibt Kreise ungerader Länge
</popup>
dG(x,y) =?<br>
<popup name="*">
3
</popup>
dG(x,z) <br>
<popup name="*">
2
</popup>
Wieviel Kreise gibt es im Graphen ?<br>
<popup name="*">
5
</popup>
Wieviele Wege gibt es von x nach y?<br>
<popup name="*">
4
</popup>
=<font color="green">Gerichtete Graphen und Multigraphen</font color>=
Einige Praxisanwendungen erfordern eine Erweiterung des bisherigen Graphenbegriffs, und
zwar in zweierlei Hinsicht, nämlich den Kanten eine Richtung zu geben und Mehrfachkanten
zuzulassen.
<h2><font color="green">Gerichteter Graph</font color></h2>
<p>
<div style= "background-color:#D6D6C2; padding:10px">
<b>Definition:</b>
Ein Graph <b>G = (V,E)</b> heißt gerichtet (auch: Digraph, von engl.: directed graph), falls seine
Kanten zusätzlich eine Orientierung erhalten. Diese orientierten Kanten nennen wir dann
auch Pfeile.
</div>
</p>
Das Einführen der Graphenrichtung hat nun zur Konsequenz, dass, wenn ein Weg in beide Richtungen möglich sein soll,
eine einzelne Kante nichtmehr ausreicht.
<p>
<h2><font color="green">Multigraph</font color></h2>
<div style= "background-color:#D6D6C2; padding:10px">
<b>Definition:</b>
Ein (gerichteter oder ungerichteter) Graph <b>G = (V,E)</b> heißt Multigraph, falls er mehrfache
Kanten (d. h. verschiedene Kanten mit den gleichen Knoten) erlaubt, sowie auch solche
Kanten, die einen Knoten mit sich selber verbinden (sogenannte Schleifen oder Schlingen).<br>
Zwei Kanten <b>a, b</b> mit <b>a = (u, v)</b> und <b>b = (u, v)</b> heißen parallel;<br>
zwei Kanten <b>a, b</b> mit <b>a = (u, v)</b> und <b>b = (v, u)</b> heißen invers.
</div>
</p>
<h1><font color="green">Bewertete Graphen</font color></h1>
<p>
<div style= "background-color:#D6D6C2; padding:10px">
<b>Definition:</b>
Eine Knotenmarkierung eines Graphen <b>G =(V, E)</b> ist eine Abbildung <b>b:V->M</b>
die jedem Knoten <b>v</b> einen Wert oder ein Symbol zuordnet.
</div>
</p>
<p>
<div style= "background-color:#D6D6C2; padding:10px">
<b>Definition:</b>
Eine Kantenmarkierung eines Graphen <b>G =(V, E)</b> ist eine
Abbildung <b>b:E->M</b> die jeder Kante e einen Wert oder ein Symbol zuordnet.
Für die Bewertung der Kante <b>{u, v}</b> schreiben wir dann kurz <b>b(u, v)</b>.
</div>
</p>
<h2><font color="green">Anwendungen</font color></h2>
Gerichtete Graphen ergeben sich in natürlicher Weise aus vielen Anwendungsproblemen:
<ul>
<li><b>Routenplanung</b></li>
<ul>
<li>Bei <b>Straßennetzwerken</b> enstehen gerichtete Graphen, sobald es Einbahnstraßen gibt.</li><br>
<li>Verwendet man Gewichte, um die erwarteten <b>Fahrzeiten/Strecke</b> entlang einer Straße zu kodieren, gibt es Asymmetrien z.B. dann, wenn Straßen in einer Richtung bergab, in der anderen bergauf befahren werden. Hier existieren zwar Kanten in beiden Richtungen, sie haben aber unterschiedliche Gewichte.<br></li>
</ul><br>
<li><b>zeitliche oder kausale Abhängigkeiten</b></li>
<ul>
<li>Wenn die Knoten <b>Ereignisse</b> repräsentieren, von denen einige die Ursache von anderen sind, diese wiederum die Ursache der nächsten usw., verbindet man die Knoten zweckmäßig durch gerichtete Kanten, die die <b>Kausalitätsbeziehungen</b> kodieren. Handelt es sich um logische "wenn-dann"-Regeln, erhält man einen Implikationengraph. Handelt es sich hingegen um <b>Wahrscheinlichkeitsaussagen</b>, erhält man ein Bayessches Netz.</li><br>
<li>Wenn bestimmte Aufgaben erst begonnen werden können, nachdem andere Aufgaben erledigt sind, erhält man einen <b>Abhängigkeitsgraphen</b>.</li><br>
</ul><br>
<li><b>Sequence Alignment</b></li>
<ul>
<li>Eine gute Rechtschreibprüfung markiert nicht nur fehlerhafte Wörter, sondern macht auch plausible Vorschläge, was eigentlich gemeint gewesen sein könnte. Dazu muss sie das gegebene Wort mit den Wörtern eines Wörterbuchs <b>vergleichen</b> und die <b>Ähnlichkeit</b> bewerten. Ein analoges Problem ergibt sich, wenn man DNA Fragmente mit der Information in einer Genomdatenbank abgleichen will.</li><br>
</ul><br>
</ul>
<h1><font color="green">Beispiele</font color></h1>
<p>
Wir betrachten den ungerichteten Graphen G im folgenden Bild. Man kann die Bewertungen
seiner Kanten beispielsweise als <b>Entfernungen</b> zwischen durch die Knoten gegebenen
Orten auffassen – oder als <b>Kosten</b>, um ein gewisses Gut entlang der entsprechenden
Kante zu transportieren.<br>
Für den <b>Weg(123)</b> auf <b>G</b> gilt dann:
<b>l(123)= 2+9 = 11</b>. <br>
Für den <b>Weg(54236)</b> auf <b>G</b> ergibt sich entsprechend
<b>l(54236)= b(5,4)+b(4,2)+b(2,3)+b(3,6)= 1+5+9+1= 16</b>. <br>
</p>
{| class="wikitable"
|-
! !! Graph-G !! Entfernungs-Matrix !!
|-
| || <popup>[[Datei:Unger1.PNG]]</popup>|| <popup>[[Datei:Matrunger.PNG]]</popup> ||
|}
<p>
Schwierigkeiten können sich beispielsweise ergeben,
wenn die Kanten zusätzlich gerichtet sind: Betrachten wir etwa den gerichteten Graphen <b>G'</b>, so könnte man hier analog zum
ungerichteten Graphen die Länge:<br>
<b>l(123)= 2+9= 11 </b><br>
berechnen, da dieserWeg über die Pfeile tatsächlich durchlaufen werden kann. Hingegen gibt
es den <b>Weg(54236)</b> in dem Graphen <b>G'</b> nicht.
</p>
{| class="wikitable"
|-
! !! Graph-G' !! Entfernungs-Matrix !!
|-
| || <popup>[[Datei:Gerichtet1.PNG]]</popup>|| <popup>[[Datei:Matrger.PNG]]</popup> ||
|}
<h2><font color="green">Gozinto-Graphen</font color></h2>
<p>
Der <b>Gozintograph</b> ein Graph, der in der <b>Fertigungsplanung zur Produkt- und Teilbedarfsrechnung</b> sowie als Vorstufe zur Fertigungstermin- und Maschinenbelegungsplanung dient.
Vazsonyi prägte den Begriff scherzhaft, indem er die Vorgehensweise auf den (nicht existierenden) italienischen Mathematiker Gozinto zurückführte,
dessen Name für „the part that goes into” steht.<br>
</p>
<p>
Für jedes Erzeugnis der industriellen Produktion lässt sich angeben,
aus welchen <b>Baugruppen</b> und <b>Einzelteilen</b> es besteht und wie viele Mengeneinheiten davon benötigt werden,
um eine Einheit des Erzeugnisses zu produzieren.<br>
</p>
<p>
Angenommen wir haben einen Endprodukt P5, welches selber aus den beiden Baugruppen B4 und E1.
Baugruppe B4 besteht aus den Teilen T1 und T2. Wir haben nun eine Bestellung
über 100 P5 und 20 B4 erhalten und rechnen uns nun mit Hilfe des Gozinto-Graphens den Bedarf an Teilen aus.
Die Struktur der Produktion sieht im Gozinto-Graphen
dann so aus:
</p>
<img src="Bilder\gozintograph.PNG" alt="ue1" style="width:400px;height:330px;">
<img src="Bilder\gozlist.PNG" alt="ue1" style="width:400px;height:330px;">
{| class="wikitable"
|-
! !! Gozinto-Graph !! Produktionsebenen/Primärbedarf !!
|-
| || <popup><b>Die Werte a den Kanten stehen für den jeweiligen Bedarf zur Herstellung.</b>[[Datei:Basch_Gozintograph.PNG]]</popup>|| <popup>[[Datei:Basch_Gozlist.PNG]]</popup> ||
|}
</p>
<b>Herangehensweise:</b>
--> 1.Direktbedarfsmatrix (Knoten x Knoten) aufstellen
--> 2.Direktbedarfsmatrix von Einheitsmatrix subtrahieren
--> 3.Matrix Invertieren
--> 4.Inverse mit Primärbedarfsvektor multiplizieren
</p>
{| class="wikitable"
|-
! !! Schritt 1 & 2 !! Schritt 3 !! Schritt 4 !!
|-
| || <popup>[[Datei:Basch_Gozmatr2.PNG]]</popup>|| <popup>[[Datei:Basch_Gozmatr3.PNG]]</popup> || <popup>[[Datei:Basch_Gozmatr4.PNG]]</popup> ||
|}
style="float:right; margin-right: 10px
= Bäume und Wälder =
Eine fuer Anwendungen sehr wichtige Klasse von Graphen sind Bäume. In vielen Febieten wie, z.B beim Compilerbau oder bei Datenbanksystem werden sie haeuftig zur Darstellung von hierarchischen Beziehungen verwendet. In diesem Teil werden Anwendungen auf Bäumen besierender Sortieralgorithmus vorgestellt und eine effiziente Realisierung von Vorrang-Warteschlangen diskutiert. Ferner werden zwei Algorithmen zur Bestimmung von minimalen aufspannenden Bäumen und ein Verfahren zur Datenkompression beschreiben.
== Definition ==
'''Ein Baum''' B ist ein zusammenhängender Graph ohne Kreis. Einen nicht zusammenhängenden Graphen , dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind, nennt man einen''' Wald'''.<br>
Ein Knoten v e V(B) mit d(v) = 1 heißt '''Blatt'''.<br>
Gibt es bei einem gerichteten Baum B einen ausgezeichneten Knoten , von dem aus sämtliche anderen Knoten von B erreichbar sind und der sinerseits von keinem anderen Knoten aus erreicht werden kann, so nennt man diesen Knoten '''die Wurzel''' von B. Man spricht in diesem Fall von einem''' gewurzelten Baum.'''
<br>
== Beispielen ==
Die Abbildung zeigt drei Bäume, die zusammen einen <b>Wald</b> bilden. Also ein (ungerichteter) Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind, wird ein Wald genannt, d.h. jeder kreisfreie Graph ist ein Wald.<br><br>
Die folgende Abbildung zeigt einen aus vier Bäumen bestehen Wald.<br>
[[Bild:S3anbrem_B1b.JPG]]
<br>
Bäume mit drei Knoten: ein ungerichteter, drei gerichtete.<br>
[[Bild:S3anbrem_B1a.JPG]]
<br>
Die folgende Abbildung zeigt die Liste aller Bäume mit 6 Knoten.<br>
[[Bild:S3anbrem_B2a.JPG]]
== Anforderungen ==
<b>Satz</b>: Sei G = (V, E) ein Graph, dann sind die folgenden drei Bedingungen aquivalent:
<br>
1. G ist ein Baum.<br>
2. Je zwei Ecken von G sind durch genau einen Weg verbunden.<br>
3. G ist zusammenhängend und |E| = |V| − 1
== Anwendung ==
<ul>
<li>Für den Informatiker sind Bäume ein sehr wichtiges Werkzeug.
<li> Dabei stellt die Tatsache, daß sich eine Reihe praktischer Problemstellungen auf die Konstruktion von aufspannenden Bäume (bzw. Wäldern)zurückführen lassen, nur einen Teilaspekt des gesamten Anwendungsspektrums dar.
<li>In der theoretischen Informatik dienen
sogenannte <b>Entscheidungsbäume</b> als Modell für Berechnungen.
<li> Schließlich spielen
Bäume als Datenstruktur für Such- und Sortierprozesse eine wichtige Rolle<br>
</ul>
== Eigenschaften ==
<ul>
<li>Jeder Baum mit Knotenanzahl n > 1 hat mindestens zwei Knoten vom Grad 1 (Blaetter).
Jeder Baum mit Knotenanzahl n hat Kantenanzahl
n − 1.
<li> Jeder kreislose Graph mit Knotenanzahl n und Kantenanzahl n − 1 ist ein Baum
<li>Sind u, v zwei verschiedene Knoten in einem Baum T, dann gibt es in T genau einen Weg mit den Endpunkten u und v
</ul>
= <b><font color="green"> Zusammenfassung </font color></b> =
Ein Graph besteht aus <br>
– <b>Knoten</b><br>
– <b>Kanten</b><br>
<b>Knoten</b> sind einfache Objekte mit Namen. <br>
Sie können Werte, Eigenschaften, etc. beinhalten.<br>
Sie werden meist als Kreise dargestellt.<br>
<b> Kanten</b> sind Verbindungen zwischen Knoten.<br>
Sie werden durch Pfeile dargestellt.<br>
<b> Multigraph:</b> Es kann mehr als eine Kante zwischen denselben Knoten geben.<br>
Existiert für mind. ein Paar (x,y) kein Paar (y,x),so nennt man den Graphen <b>gerichtet</b>.<br>
Bei einem <b> bewerteten Graphen</b> ist jeder Kante ein Wert
zugeordnet. <br>
Existiert für jedes Paar (x,y) auch ein Paar (y,x), so nennt man den Graphen<b> ungerichtet.</b><br>
Ein (ungerichteter) Graph ist ein <b>Baum</b>, wenn er zusammenhängend ist und keinen Kreis enthält.<br>
= <b><font color="green"> Bibliografie </font color></b> =
André Krischke, Helge Röpcke - Graphen und Netzwerktheorie <br>
http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Typen_von_Graphen_in_der_Graphentheorie.html#Wichtige_spezielle_Graphen <br>
https://de.wikipedia.org/wiki/Graphentheorie <br>
http://www2.cs.uni-paderborn.de/cs/ag-klbue/de/courses/ws09/model/folien/kb-graphen.pdf <br>
http://wvsg.schulen2.regensburg.de/joomla/images/Faecher/Informatik/Informatik_11/informatik_11_3_1_Einfache%20Graphen.html<br>
http://www14.in.tum.de/lehre/2010WS/ds/2011-02-01.pdf<br>
https://www2.informatik.hu-berlin.de/alkox/lehre/lvss03/ti03/vl1507.pdf
http://www.stefan-enderle.de/SS08/GrundlagenDerInformatik-II-3-Graphen.pdf
http://mathworld.wolfram.com/BipartiteGraph.html