Grundbegriffe der Graphentheorie 1
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<language>Java</language>
Ralf Zücker,
Frank Ehrlich
=Relevanz und Motivation=
==Entstehung von Theorien und Modellen==
* Meist aus einem praktischen Problem heraus
* Zusammentragen aller Fakten die damit irgendwie zu tun haben
* Weglassen aller Dinge die keinen direkten Einfluss haben
* Verallgemeinerung / Abstraktion
* Finden von Ähnlichkeiten mit bekannten einfacheren Dingen
* Entwurf eines Modells mit diesen einfacheren Dingen
* Verhältnismäßig einfache Bestimmung von übertragbaren Eigenschaften und Konsequenzen
==Leonard Euler 1737==
* Problem der Königsberger Brücken
* Weglassen von Entfernungen und Ausmaßen
* Einfluss haben nur Stadtteile und Brücken
* Abstraktion zu Punkten mit Verbindungslinien
* Lösung des Problems mit Punkten und Verbindungen löst auch das Problem mit Stadtteilen und Brücken
* Entstehung des Graphenmodells
==Die Graphentheorie als Modell==
* Sehr minimalistisch, nur Punkte mit Verbindungen
* Dadurch übertragbar auf alle Arten von Beziehungen zwischen Objekten
** Städte und Zugverbindungen
** Freundschaften zwischen Menschen
** Verlinkung von Internetseiten
* Viele praktische Probleme lassen sich zu einem Graphenproblem umformulieren
** Ausfallwahrscheinlichkeit von Netzwerken
** Routenermittlung bei der Navigation
** Einstufung der Wichtigkeit von Einzelnen in einer Gruppe
* Graphentheorie stellt bereits Lösungen zur Verfügung
* Meist ist "nur noch" eine Interpretation erforderlich
==Arbeiten mit dem Graphenmodell==
* Mathematik des Modells ist gut dokumentiert
* Kritisch sind die Transformationen
** Formulierung eines praktischen Problems im Graphenmodell
** Interpretation des mathematischen Ergebnisse für die Praxis
* Falsche Formulierung oder falsche Interpretation liefert keine Problemlösung
* Zeitverteilung eines Softwareentwicklers: 10% tippen, 90% denken
* Gute Programmierer denken immer abstrakt (also in Modellen)
* Wenn man viele Modelle kennt, muss man sich selbst keine ausdenken
* Die Einfachheit der Graphentheorie macht sie zu einem Universalmodell
=Knoten und Kanten=
;Definition Graph
:$\color{red}G=\color{blue}(V,E\color{blue}),~V=\color{green}\{v\color{green}\},~V \color{orange}{\neq \emptyset},~E=\color{brown}{\{\!\vert}\color{green}\{x,y\color{green}\}~\color{magenta}|~x,y \in V~\color{brown}{\vert\!\}}$*
:'''Gelesen:''' Ein $\color{red}{Graph}$ ist ein $\color{blue}{geordnetes~Paar}$, wobei dessen erstes Element eine $\color{green}{Menge}$ ist, welche $\color{orange}{nicht~leer}$ sein darf, und dessen zweites Element eine $\color{brown}{Multimenge}$ von $\color{green}{Zweiermengen}$ ist, $\color{magenta}{mit~der~Eigenschaft,~dass}$ die Zweiermengenelemente in der ersten Menge enthalten sein müssen.
* $V$ (für ''Vertices'') ist die Menge der Knoten
* $E$ (für ''Edges'') ist die Menge der Kanten
* '''Man beachte:''' Es ist nicht festgelegt, was $v$ eigentlich ist!
<popup name="*">
Für die Definition von gerichteten Graphen muss eine Kante als geordnetes Paar definiert werden, um deren Richtungsgebundenheit auszudrücken.<br>
Das Vorkommen von mehrfachen Kanten zwischen zwei Knoten wird hier formal durch Definiton der Kantenmenge als Multimenge zugelassen.<br>
Schleifen werden nicht ausgeschlossen, da $x=y$ sein kann.
</popup>
* Zur grafischen Darstellung bieten sich Punkte und Linien an
* Welche der Darstellungen repräsentieren Graphen?<br/>
[[Bild:RaZ_Graphen.png|800px]]
<popup name="Lösung">Alle außer b) und c)</popup>
==Konsequenzen==
* Ein Graph muss mindestens einen Knoten enthalten
* Ein Graph muss nicht unbedingt Kanten haben
* Eine Kante muss immer durch 2 (nicht zwingend verschiedene) Knoten begrenzt sein
* Zwei Graphen sind gleich, wenn sie die gleichen Knoten enthalten, die durch die gleichen Kanten verbunden sind
* Adjazenz = Nachbarschaft = Es gibt etwas trennendes dazwischen
** Nur zwischen Knoten und Knoten bzw. zwischen Kante und Kante
** Dazwischen ist immer eine Kante oder ein Knoten
* Inzidenz = Angrenzung = Es gibt direkten Kontakt
** Nur zwischen Knoten und Kante
* $n$ für Anzahl der Knoten
* $m$ für Anzahl der Kanten
==In der Praxis==
* Knoten und Kanten werden immer als Objekte mit Beziehungen interpretiert
* Dadurch werden die Konsequenzen intuitiv klar
* Erst wenn es ein Objekt gibt, kann man etwas darüber aussagen: "ist allein"
* Zwei Objekte ohne Verbindung sind auch sinnvoll: "nicht allein, aber isoliert"
* Eine Beziehung findet per Definition immer zwischen Objekt'''en''' statt
* Objekte müssen dabei nicht zwingend verschieden sein (z.B. Besitzer$\leftrightarrow$Eigentümer)
==Modellierung==
* Transformation einer Gegebenheit/eines Problems ins Graphenmodell
* Scheinbar offensichtlich (Computernetzwerke, Straßen, Facebook-Freundschaften)
* In der Praxis: Immer abhängig von der Problemstellung!
* z.B. Kabelverlegung in einem Haus
** Wie verlegt man die Kabel, sodass die verwendete Gesamtkabellänge minimal ist?
** Wie teile ich eine 50m Kabelrolle auf, sodass der Verschnitt möglichst gering ist?
* Kein Patentrezept um von der konkreten Problemstellung zum abstrakten Graphenmodell zu gelangen
* Hilfreiche Fragen die man sich stellen kann
** Welches Ergebnis wird gebraucht?
** Welches Ergebnis der Graphentheorie soll genutzt werden?
* Oft helfen Zwischen-Abstraktionen anstatt direkt zu Knoten und Kanten zu abstrahieren
** Zustände und deren Übergänge
** Situationen und deren Änderung
* Grafische Darstellung von Graphen kann geometrische Körper ergeben
=Programmiertechnische Verarbeitung=
* Wie bilde ich das gestellte Problem programmtechnisch ab?
*# Mathematische Analyse ($\rightarrow$ mathematische Grundalgorithmus)
*# Verbesserung des Algorithmus (dynamic programming, divide & conquer, ...)
*# Definition der Datenstruktur zur effizienten Unterstützung des Algorithmus
* Wahl der Datenstruktur immer nach Anforderungen des Algorithmus
* Speicherbedarf vs. Effizienz
==Naive Herangehensweise==
* Streng nach Definition: Menge von Knoten + Menge von Kanten (zwischen Knoten)<br/><code id="562384e909645">
class Graph{
int[] vertices;
Edge[] edges;
}
class Edge{
int from;
int to;
}
</code>
* Kante von a nach b vorhanden? $\mathcal{O}(m)$
* Anzahl anliegender Kanten am Knoten? $\mathcal{O}(m)$
* Speicherbedarf $\mathcal{O}(n+2m)$
==Adjazenzmatrix==
* Matrix der Größe $n\times n$, 0 oder 1 für jedes Punkte-Paar<br/>[[Bild:RaZ_GraphMatrix.png|500px]][[Bild:RaZ_AdjazenzMatrix.png|300px]]
* Kante von a nach b vorhanden? $\mathcal{O}(1)$
* Anzahl anliegender Kanten am Knoten? $\mathcal{O}(n)$
* Speicherbedarf $\mathcal{O}(n^2)$ (oder doch etwas weniger möglich?)
* Codebeispiel:<br/><code id="5626b165b8dff">
class Graph<T>{
T[][] adjacency;
}
</code>
* Speicherbedarf unabhängig von der Kantenanzahl
* Bei großen Graphen nicht mehr möglich
==Adjazenzliste==
* Weglassen der Nullen in der Adjazenzmatrix
* Liste der Knoten mit deren Nachbarn<br/>[[Bild:RaZ_GraphMatrix.png|500px]][[Bild:RaZ_Adjazenzliste.png|380px]]
* Kante von a nach b vorhanden? $\mathcal{O}(n)$
* Anzahl anliegender Kanten am Knoten? $\mathcal{O}(1)$
* Speicherbedarf $\mathcal{O}(n+m)$
* Codebeispiel:<br/><code id="5626b165b8ea9">
class Graph<T>{
int[] neighborIndex;
T[] neighbors;
}
</code>
** Für jeden Knoten ein <tt>neighborIndex</tt> wo in <tt>neighbors</tt> seine adjazenten Knoten abgelegt sind<br/>
** Knoten ohne Nachbar erkennbar wenn der Folgeknoten den gleichen <tt>neigborIndex</tt> hat<br/>Achtung! Sonderbehandlung des letzten Knotens
* weniger Speicherbedarf als Adjazenzmatrix wenn Graph nicht vollständig
==Kantenliste==
* Nur die Kanten (zwischen 2 Knoten) werden gehalten<br/>[[Bild:RaZ_GraphMatrix.png|500px]][[Bild:RaZ_Kantenliste.png|380px]]
* Kante von a nach b vorhanden? $\mathcal{O}(m)$
* Anzahl anliegender Kanten am Knoten? $\mathcal{O}(m)$
* Speicherbedarf $\mathcal{O}(m)$
* Codebeispiel:<br/><code id="5626b165b8f32">
class Graph<T>{
T[][] edges; // second dimension is 2
}
</code>
* Speicherbedarf unabhängig von der Knotenanzahl
* keine Unterstützung isolierter Knoten
==In der Praxis==
* Knoten und Kanten sind meist komplexere Datenstrukturen (beliebige Klassen)
* Bei Algorithmenimplementation ''generics'' bzw. ''templates'' benutzen
* Hilfsdatenstrukturen '''richtig''' verwenden (HashMap, HashSet)
* Redundanz vermeiden (Speicherbedarf minimieren), oder auch explizit nutzen (Effizienzsteigerung)
=Grad eines Knotens=
;Definition
:$\color{red}d(\color{orange}v) = \color{blue}|~\color{brown}{\{\!\vert}~\color{green}\{\color{orange}v,x\color{green}\}~\color{magenta}{|~\{v,x\} \in E}~\color{brown}{\vert\!\}}~\color{blue}|$*
:'''Gelesen:''' Der $\color{red}{Grad}$ eines $\color{orange}{Knotens}$ ist die $\color{blue}{Kardinalität}$ der $\color{brown}{Multimenge}$ von $\color{green}{Zweiermengen}$, $\color{magenta}{welche~in~E~enthalten~sein~müssen}$, die diesen $\color{orange}{Knoten}$ enthalten.
<popup name="*">
Für gerichtete Graphen, bei denen eine Kante als Paar definiert ist, muss die Multimenge alle Paare beinhalten, die $\color{orange}v$ als erstes oder zweites Paarelement enthalten.<br>
Mehrfache Kanten zwischen zwei Knoten müssen für den Grad des Knotens berücksichtigt werden, was hier formal durch Definiton der Kantenmenge als Multimenge zugelassen wird.<br>
Und Schleifen...?
</popup>
[[Bild:RaZ_Degree.png|800px]]
<popup name="Regularität">
Alle außer h) sind regulär und von diesen sind alle außer i) stark regulär.
</popup>
* Einzelner Knoten ohne anliegende Kanten hat Grad 0 (isolierter Knoten)
* Schleife an einem Knoten erhöht den Grad um 2
* Haben alle Knoten den gleichen Grad ist der Graph regulär<br/>genauer: bei Grad k $\rightarrow$ k-regulär
* Stark regulär:
** 2 benachbarte Knoten haben immer gleich viele gemeinsame Nachbarknoten und
** 2 '''nicht''' benachbarte Knoten haben immer gleich viele gemeinsame Nachbarknoten
* Ein Graph hat: Minimalgrad, Maximalgrad, Durchschnittsgrad
* Wichtig: $\sum_{i=1}^n d(v_i)=2\cdot m$
** Summe aller Grade entspricht doppelter Kantenanzahl im Graph
** Da jede Kante den Grad ihrer 2 angrenzenden Knoten um 1 erhöht
* Daraus folgt: Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad muss gerade sein
<popup name="Beweis">
# Summe aller Grade ist $\color{blue}{gerade}$ wegen $\textbf{2}\cdot m$
# Summe aller $\color{blue}{geraden}$ Grade ist auch $\color{blue}{gerade}$
# Wegen 1. muss die Summe aller $\color{red}{ungeraden}$ Grade auch $\color{blue}{gerade}$ sein
# Wegen 3. muss die Anzahl der Knoten mit $\color{red}{ungeradem}$ Grad $\color{blue}{gerade}$ sein
</popup>
* Praktisch: schnelle Überprüfbarkeit einer Aussage<br/>Unter 7 Unternehmen unterhält jedes Geschäftsbeziehungen zu genau 3 anderen Unternehmen. Möglich?
=Isomorphie=
* Gleichstrukturiertheit von Graphen $G \sim G'$
* Grafische Darstellung der Graphen kann ineinander überführt werden (Morphing)
* Achtung: Isomorphie $<>$ Gleichheit
** Knotennamen für Isomorphie irrelevant
** Ebenso Kantenbewertungen
** Aber: Kantenrichtungen dürfen nicht ignoriert werden
*Algorithmische Prüfung auf Isomorphie <span style="font-size:88%">''($\mathcal{O}$ per Adjazenzmatrix)''</span>
** Anzahl der Knoten muss gleich sein $=\mathcal{O}(1)$
** Anzahl der Kanten bzw. Summe der Grade muss gleich sein $=\mathcal{O}(n^2)$
* Das reicht aber noch nicht!<br>[[Bild:RaZ_NotIso.png|500px]]
** Die Adjazenzmatrix muss gleich sein von mindestens einer ihrer '''Permutationen''' $=\mathcal{O}(n!)$
** Optimierung lt. Ullmann: Partitionieren! (Gruppierung von Knoten mit gleichem Grad)<br/>Dadurch statt $9!=362.880$ Möglichkeiten, Einschränkung auf z.B. $2!\cdot 7!=10.080$ Möglichkeiten
** Hier gibts einen Ferrari zu holen...
=Wege, Kreise und Zusammenhang=
==Kantenzug==
* Kantenfolge deren Kanten und Knoten mehrfach auftreten
* geschlossender Kantenzug: Kantenzug mit Startknoten = Endknoten
[[Bild:Ghx8 ;_Kantenzug.png|800px]]
* Kantenzug: {B,C,E,F,G,H,F,E,D}
[[Bild:Ghx8 ;_GeschlKantenzug.png|800px]]
* Kantenzug: {B,C,E,F,G,H,F,E,D,B}
==Weg==
* Knoten können mehrfach vorkommen; Kanten sind verschieden
* minimum 2 Knoten
* Beschreibung des Weges durch Benennung der Knoten
* Einfacher Weg: Kantenfolge, deren Kanten und Knoten nur einmal durchlaufen werden
[[Bild:Ghx8 ;_WegCEFGJF.png|800px]]
* Weg: {C,E,F,G,J,F}
[[Bild:Ghx8 ;_EinfacherWegCEFG.png|800px]]
* Einfacher Weg: {C,E,F,G}
==Kreise==
* geschlossener Weg
* minimum 3 Knoten
* Einfacher Kreis: alle Knoten und Kanten müssen, außer Anfangsknoten und Endknoten, verschieden sein
[[Bild:Ghx8_;_KreisFGJIHF.png|800px]]
* Kreis: {F,G,J,I,H,J,F}
[[Bild:Ghx8 ;_EinfacherKreisFGJF.png|800px]]
* Einfacher Kreis: {F,G,J,F}
==Zusammenhang bei Graphen==
* zwischen zwei verschiedenen Endknoten gibt es einen Weg
* maximal zusammenhängender Teilgraph eines Graphen heißt Zusammenhangskomponente des Graphen
[[Bild:Ghx8 ;_Zusammenhang.png|400px]]
==Übung==
[[Bild:Ghx8 ;_UbungA.png|400px]]
{| class="wikitable"
|-
! Knoten !! Kantenzug !! geschlossener Kantenzug !! einfacher Weg !! Weg !! einfacher Kreis !! Kreis
|-
|{G,C,A,G,F,E,G} || <popup></popup>|| <popup></popup> || <popup></popup> ||<popup></popup>|| <popup></popup> ||<popup>ja</popup>
|-
|{G,H} || <popup></popup>|| <popup></popup> || <popup>ja</popup> ||<popup>ja</popup>|| <popup></popup> ||<popup></popup>
|-
|{D,G,B,D,F,G,B,A} || <popup>ja</popup>|| <popup></popup> || <popup></popup> ||<popup></popup>|| <popup></popup> ||<popup></popup>
|-
|{G,B,A,G,H} || <popup></popup>|| <popup></popup> || <popup></popup> ||<popup>ja</popup>|| <popup></popup> ||<popup></popup>
|-
|{A,B,D,G,A} || <popup></popup>|| <popup></popup> || <popup></popup> ||<popup></popup>|| <popup>ja</popup> ||<popup>ja</popup>
|-
|{G,B,A,G,B,A,G} || <popup></popup>|| <popup>ja</popup> || <popup></popup> ||<popup></popup>|| <popup></popup> ||<popup></popup>
|}
=Strukturelle Umformungen=
==Entfernen von Knoten und Kanten==
[[Bild:Ghx8 ;_Obergraph.png|800px]]
*Obergraph
[[Bild:Ghx8 ;_Kantenentfernung.png|800px]]
* Entfernung einer Kante -> neuer Graph bzw. Graphen
[[Bild:Ghx8 ;_Knotenentfernung.png|800px]]
* Entfernung eines Knoten -> neuer Graph, hierbei das gleichzeitige Entfernen aller zum Knoten inzidenten Kanten
==Kontraktion==
* entfernen einer Kante -> Fusion derer Endknoten
* dadurch Wegverkürzung
* wenn Endknoten = Endknoten des Weges -> Weglänge = 0
* wenn die Kante nicht auf dem Weg liegt, dann bleibt der Weg erhalten
* Folge: Ein Graph ist genau dann zusammenhängend, wenn durch eine Folge von Kontraktionen nur ein Knoten übrig bleibt.
[[Bild:Ghx8 ;_KontraktionVorher.png|800px]]
* Obergraph
[[Bild:Ghx8 ;_Kontraktion.png|800px]]
* Nach Kontraktion
==Artikulationen (= Knoten)==
* wenn durch Entfernung eines Knotens der Graph in zwei oder mehrere Komponenten zerfällt
[[Bild:Ghx8 ;_KritischerKnotenVor.png|800px]]
* Kritische Knoten: blau
[[Bild:Ghx8 ;_KritischerKnotenNach.png|800px]]
* Nach Entfernung der kritischen Knoten
==Brücken (= Kanten)==
* wenn durch Entfernung einer Kante der Graph in zwei oder mehrere Komponenten zerfällt
[[Bild:Ghx8 ;_KritischerKanteVor.png|800px]]
* kritische Kante: blau
[[Bild:Ghx8 ;_KritischerKanteNach.png|800px]]
* Nach Entfernung der Brücke
==Übung==
[[Bild:Ghx8 ;_UbungA.png|400px]]
* Was passiert bei Entfernung einer Kante bzw. Knoten
* Was passiert bei Kontraktion?
* Wo ist die Artikulation?
**Antwort: {G}
* Wo ist die Brücke?
**Antwort: Kante {G,H}
=Vollständige Graphen=
* alle Knoten sind miteinander verbunden
[[Bild:Ghx8 ;_VollständigerGraph.png|800px]]
[[Bild:Ghx8 ;_VollständigerGraphB.png|800px]]
=Teilgraph und Untergraph=
==Untergraph==
* ist ein Ausschnitt aus einem Graphen, dessen Knoten samt dessen inzidenten Kanten erhalten bleiben
* wird auch als Clique bezeichnet
[[Bild:Ghx8 ;_UUUntergraph.png|300px]]
==Teilgraph==
* ist ein Ausschnitt aus einem Graphen, bei der Kanten zwischen den Knoten fehlen können
* Kreise können auch Teilgraphen sein
* jeder Untergraph ist auch ein Teilgraph, aber nicht umgekehrt!
[[Bild:Ghx8 ;_UUUntergraph.png|300px]] [[Bild:Ghx8 ;_TeilgraphB.png|300px]] [[Bild:Ghx8 ;_TTeilgraph.png|300px]]
==induzierter Teilgraph = Untergraph==
* Entfernung eines Knotens samt seiner inzidenten Kanten
[[Bild:Ghx8 ;_InduzierterTeilgraph.png|800px]]
==spannender Teilgraph==
* ist ein Teilgraph mit allen Knoten und reduzierter Kantenanzahl
[[Bild:Ghx8 ;_SpannenderTeilgraph.png|800px]]
==Übung==
[[Bild:Ghx8 ;_UbungA.png|400px]]
Welche Untergraphen gibt es?
**Antwort: {A,B,D,E,F,E} oder {G,B,A}
Welche Teilgraphen gibt es?
**Antwort: {G,B,A} oder {G,B,A} ohne Kante {A,B}
Nenne induzierte Teilgraphen!
Wie sieht der spannende Teilgraph aus?
=Grundlegende Graphenoperationen=
Besonders häufig werden die üblichen Operationen der Mengenlehre (Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und Komplement) auf Knoten- bzw. Kantenmengen von Graphen angewendet.
==Operation: Durchschnitt==
* es bleiben nur die Knoten und Kanten erhalten, welche beide Graphen enthalten
<gallery widths="250px" heights="300px">
Bild:Ghx8 ;_Vereinigung.png|Graph G und G'
Bild:Ghx8 ;_Schnitt.png|<math>G \cap G'</math>
</gallery>
==Operation: Vereinigung==
* zwei Graphen werden durch gleichen Knoten und Kanten vereinigt
<gallery widths="250px" heights="300px">
Bild:Ghx8 ;_Vereinigung.png|Graph G und G'
Bild:Ghx8 ;_VereinigungB.png| <math>G \cup G'</math>
Bild:Ghx8 ;_Schnittdisj.png|<math>G \sqcup G'</math>
</gallery>
==Operation: Differenz==
* es bleiben die Knoten und Kanten erhalten, welche nur in G enthalten sind
<gallery widths="250px" heights="300px">
Bild:Ghx8 ;_Vereinigung.png|Graph G und G'
Bild:Ghx8 ;_Differenz.png|<math>G \setminus G'</math>
</gallery>
==Operation: Komplement==
* Komplementärgraph G' eines Graphen G hat die selbe Knotenmenge wie der Ausgangsgraph
* in G' sind genau zwei Knoten adjazent, wenn sie in G nicht adjazent sind
<gallery widths="250px" heights="300px">
Bild:Ghx8 ;_Vereinigung.png|Graph G und G'
Bild:Ghx8 ;_KKomplement.png|<math>\overline{G}</math> und <math>\overline{G'}</math>
</gallery>
==Übung==
[[Bild:Ghx8 ;_LetzteUbung.png]]
Welcher Graph entsteht durch Vereinigung?
Welcher Graph entsteht durch die Bildung des Durchschnitts?
Welcher Graph entsteht durch Differenz?
Wie sehen die komplementären Graphen aus?
= <b><font color="black"> Quellen </font color></b> =
* https://books.google.de/books?id=Og8dBgAAQBAJ&pg=PA103&dq=graph+differenz&hl=de&sa=X&ved=0CDUQ6AEwBGoVChMI6-z8s87iyAIVxPNyCh0iFwtU#v=onepage&q=vereinigung&f=false
* Krischke/Röpcke, 2015, Graphen und Netzwerktheorie
* Tittmann, 2003, Graphentheorie
* Turau, 2009, Algorithmische Graphentheorie