BuK/IIm11/BuK-KA-Durchschnittsmenge

Wiki-Quelltext dieser Seite.

<language>Scheme</language>
== Aufgabenstellung ==

Weisen Sie nach, dass die Durchschittsmenge (Schnittmenge) zweier aufzählbarer Mengen $ M_{1},M_{2} \subseteq A^{*} $ eine aufzählbare Menge ist. Implementieren Sie eine zugehörige Scheme-Repräsentation.


== Satz ==

Die Durchschnittsmenge $ M_{1} \cap M_{2} $ zweier aufzählbarer Mengen $ M_{1},M_{2} \subseteq A^{*} $ ist eine aufzählbare Menge.


== Beweis ==

Gegeben sind die Aufzählprozeduren für die surjektiven Funktionen $ f: \N \rightarrow M_{1} \text{ und } g: \N \rightarrow  M_{2} $. Gesucht ist eine Aufzählfunktion $ h: \N \rightarrow M_{1} \cap M_{2} $ mit

$$h(i)=\begin{cases}
f(i), \text{ wenn } \chi_{M_{1} \cap M_{2}}(f(i))\\
h(i+1), \text{ sonst}\\
\end{cases}$$ 

Die Schnittmenge $ M_{1} \cap M_{2} $ ist aufzählbar, wenn $ h $ berechenbar ist. $ f(i) $ ist für alle $ i \in \N $ berechenbar, da $ M_{1} $ eine aufzählbare Menge ist.

Außerdem ist $ \chi_{M_{1} \cap M_{2}}(w), w \in A^{*} $ mit
$$\chi_{M_{1} \cap M_{2}}(w)=\begin{cases}
wahr, \text{ wenn } \chi_{M_{1}}(w) \wedge \chi_{M_{2}}(w)\\
\perp, \text{ sonst}\\
\end{cases} $$ 
berechenbar, da die partiellen semi-chrakteristischen Funktionen $ \chi_{M_{1}} \text{ und } \chi_{M_{2}} $ berechenbar sind.$ \square $

== Implementierung ==


<code id="4f7af8c9e4e0b" hidden>

(define stream-car car)
(define stream-cdr
  (lambda (stm)
    (force (cdr stm))))

(define-syntax stream-cons
  (syntax-rules ()
    ((_ head tail) (cons head (delay tail)))))

(define stream?
  (lambda (stm)
    (and (pair? stm)(promise? (cdr stm)))))

(define print-stream
  (lambda (stm n)
    (cond
      ((<= n 0) (display "...\n"))
      (else
       (display (stream-car stm))
       (display ", ")
       (print-stream (stream-cdr stm) (- n 1))))))
(define stream-item
  (lambda (str k)
    (if (= k 0)
      (stream-car str)
      (stream-item (stream-cdr str) (- k 1)))))


(define prim?
  (lambda (n)
    (letrec
        ((helfer
          (lambda (t)
            (cond
              ((> t (sqrt n)) #t)
              ((= (remainder n t) 0) #f)
              (else
               (helfer (+ t 2)))))))
         (cond
           ((= n 1) #f)
           ((= n 2) #t)
           ((even? n) #f)
           (else
            (helfer 3))))))

  (define contains?
  (lambda(element ls)
    (cond
      [(not (list? ls)) #f]
      [(null? ls) #f]
      [(= (car ls) element) #t]
      [else (contains? element (cdr ls))]
    )
  )
)
</code>
<code id="4f793f957cc29">

(define intersection
  (lambda (f g)
    (letrec(
      (next-element
        (lambda (pool-f pool-g i)
          (let (
                (f-element (f i))
                (g-element (g i))
            )
            (begin
              (if (contains? f-element pool-g)
                  (stream-cons f-element (next-element pool-f (append pool-g (list g-element)) (+ i 1)))
                  (if (contains? g-element (append pool-f (list f-element)))
                    (stream-cons g-element (next-element (append pool-f (list f-element)) pool-g (+ i 1)))
                    (next-element (append pool-f (list f-element)) (append pool-g (list g-element)) (+ i 1))
                  )
              )
            )
          )
        )
       ))
      (next-element '() '() 1)
    )
  )
)
</code>
<run id="4f797f955cc93">
(define f (lambda (x) (* 2 x)))
(define g (lambda (x) (* 3 x)))
(print-stream (intersection f g) 20)
</run>