BuK/IIm11/BuK-KA-Durchschnittsmenge

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<language>Scheme</language>
== Aufgabenstellung ==

Weisen Sie nach, dass die Durchschittsmenge (Schnittmenge) zweier aufzählbarer Mengen $ M_{1},M_{2} \subseteq A^{*} $ eine aufzählbare Menge ist. Implementieren Sie eine zugehörige Scheme-Repräsentation.


== Satz ==

Die Durchschnittsmenge $ M_{1} \cap M_{2} $ zweier aufzählbarer Mengen $ M_{1},M_{2} \subseteq A^{*} $ ist eine aufzählbare Menge.


== Beweis ==

Gegeben sind die Aufzählprozeduren für die surjektiven Funktionen $ f: \N \rightarrow M_{1} \text{ und } g: \N \rightarrow  M_{2} $. Gesucht ist eine Aufzählfunktion $ h: \N \rightarrow M_{1} \cap M_{2} $ mit

$$h(i)=\begin{cases}
f(i), \text{ wenn } \chi_{M_{1} \cap M_{2}}(f(i))\\
h(i+1), \text{ sonst}\\
\end{cases}$$ 

Die Schnittmenge $ M_{1} \cap M_{2} $ ist aufzählbar, wenn $ h $ berechenbar ist. $ f(i) $ ist für alle $ i \in \N $ berechenbar, da $ M_{1} $ eine aufzählbare Menge ist.

Außerdem ist $ \chi_{M_{1} \cap M_{2}}(w), w \in A^{*} $ mit
$$\chi_{M_{1} \cap M_{2}}(w)=\begin{cases}
wahr, \text{ wenn } \chi_{M_{1}}(w) \wedge \chi_{M_{2}}(w)\\
\perp, \text{ sonst}\\
\end{cases} $$ 
berechenbar, da die partiellen semi-chrakteristischen Funktionen $ \chi_{M_{1}} \text{ und } \chi_{M_{2}} $ berechenbar sind.$ \square $

== Implementierung ==


<code id="4f7af9c9e5e0b" hidden>

(define stream-car car)
(define stream-cdr
  (lambda (stm)
    (force (cdr stm))))

(define-syntax stream-cons
  (syntax-rules ()
    ((_ head tail) (cons head (delay tail)))))

(define stream?
  (lambda (stm)
    (and (pair? stm)(promise? (cdr stm)))))

(define print-stream
  (lambda (stm n)
    (cond
      ((<= n 0) (display "...\n"))
      (else
       (display (stream-car stm))
       (display ", ")
       (print-stream (stream-cdr stm) (- n 1))))))
(define stream-item
  (lambda (str k)
    (if (= k 0)
      (stream-car str)
      (stream-item (stream-cdr str) (- k 1)))))


(define prim?
  (lambda (n)
    (letrec
        ((helfer
          (lambda (t)
            (cond
              ((> t (sqrt n)) #t)
              ((= (remainder n t) 0) #f)
              (else
               (helfer (+ t 2)))))))
         (cond
           ((= n 1) #f)
           ((= n 2) #t)
           ((even? n) #f)
           (else
            (helfer 3))))))
</code>
<code id="4f797f955cc29">
  (define make-stream-intersect
  (lambda (stm1 stm2)
    (letrec ((n 0)
             (stm1org stm1)
             (stm2org stm2)
          (stream-intersect-helper
           (lambda (stm1 stm2 n)
             (cond 
               ((even? n)
                (if(stream-contains? (stream-car stm1) stm2org (/ n 2))
                   (stream-cons (stream-car stm1) (stream-intersect-helper (stream-cdr stm1) stm2 (+ n 1)))
                   (stream-intersect-helper (stream-cdr stm1) stm2 (+ n 1))))
               (else
                (if(stream-contains? (stream-car stm2) stm1org (/  (- n 1) 2) )
                   (stream-cons (stream-car stm2) (stream-intersect-helper  stm1 (stream-cdr stm2) (+ n 1)))
                   (stream-intersect-helper stm1 (stream-cdr stm2) (+ n 1))))))))
      (stream-intersect-helper stm1 stm2 n))))

        
(define stream-contains?
  (lambda (item stm n)
    (cond
      ((equal? item (stream-car stm)) #t)
      ((= n 0 ) #f)
      (else (stream-contains? item (stream-cdr stm) (- n 1))))))


(define natstream (nat-stream-maker 0))
(define oddstream (stream-map natstream(lambda (x) (+ 1 (* 2 x)))))
(define primstream (stream-filter natstream prim?))
(define fibstream (fib-maker 0 1))
</code>
<run id="4f797f955cc93">
(display "fibanocci Zahlen\n")
(print-stream fibstream 10)
(display "geraden Zahlen\n")
(print-stream oddstream 10)
(define intersectstream (make-stream-intersect fibstream oddstream))
(display "Schnittmenge Fibanocci und gerade Zahlen\n")
(print-stream intersectstream 10)
</run>
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