AuK/Graphrepräsentationen WS13-14

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;Autoren
:[mailto://s3hakret@stud.hszg.de Hannes Kretschmer]<br/>
:[mailto://s3juhils@stud.hszg.de Julian Hilsberg]


=Grundbegriffe der Graphentheorie=


=Datenstrukturen für Graphen=

==Auswahl - Operationen für Graphen==
Die Wahl der Darstellung eines Graphen muss immer im Bezug auf die mit den Daten durchzuführenden Operationen erfolgen. Die Operationen sind problemabhängig. 
Die wichtigsten Operationen für Graphen sind:
<ol>
<li>Feststellen, ob ein Paar von Ecken benachbart ist.</li>
<li>Bestimmung der Nachbarn einer Ecke.</li>
<li>Bestimmung der Nachfolger und Vorgänger einer Ecke in einem gerichteten Graphen.</li>
</ol> 

Neben der Effizienz der Operationen spielt auch der Speicherplatzverbrauch eine große Rolle bei der Wahl einer Datenstruktur. Hierbei stellt man häufig Wechselwirkungen zwischen Speicherplatzverbrauch und Effizienz fest. Eine sehr effiziente Erledigung der Operation benötigt oft mehr Speicherplatz, als eine weniger effiziente. Weiterhin muss Beachtung finden, ob es sich um eine statische oder eine dynamische Anwendung handelt. Bei dynamischen Anwendungen wird der Graph verändert, hierbei benötigt man Operationen zum Löschen und Einfügen von Ecken und Kanten. Oft sollen nur Graphen mit einer speziellen Eigenschaft (z.B. ohne geschlossene Wege) dargestellt werden. In diesen Fällen kann man durch die Wahl einer spezialisierten Datenstruktur die Effizienz weiter steigern. 

==Kantenliste==

==Adjazenzliste==
Der Graph wird bei einer Adjazenzliste dadurch dargestellt, dass für jede Ecke die Liste der Nachbarn abgespeichert wird. Es lassen sich gerichtete und ungerichtete Graphen darstellen. Für die Realisierung der Adjazenzliste bieten sich zwei Möglichkeiten an.<br>
Bei der ersten Möglichkeit werden die Listen mit Zeigern realisiert. Der Graph wird durch ein Feld $A$ der Länge $n$ dargestellt. Der $i$-te Eintrag enthält einen Zeiger auf die Liste der Nachbarn von $i$. Die Nachbarn werden als verkettete Liste dargestellt.<br>
Bei der zweiten Möglichkeit verwendet man ein Feld A, um die Nachbarn abzuspeichern. Die Nachbarn werden lückenlos nebeneinander abgelegt, zuerst die der Ecke 1, dann die der Ecke 2 usw. Für gerichtete Graphen hat das Feld die Länge $m$ und für ungerichtete Graphen die Länge $2m$. Man benötigt nun eine zweites Feld $N$ der Länge $n$, um festzustellen wo die Nachbarliste für eine bestimmte Ecke beginnt. Dieses Feld enthält nun die Indizes der Anfänge der Nachbarliste.<br> 
Um festzustellen ob es eine Kante von $i$ nach $j$ gibt, muss die Nachbarschaftsliste von der Ecke $1$ durchsucht werden. Falls es keine solche Kante gibt, muss die gesamte Liste durchsucht werden. Diese kann bis zu $n-1$ Einträge besitzen. Somit ist diese Operation abhängig von der Größe des Graphen. Sehr einfach ist die Bestimmung der Nachbarn einer Ecke, denn die Liste liegt direkt vor. Aufwendiger ist die Bestimmung der Vorgänger einer Ecke in einem gerichteten Graphen, hierzu müssen alle Nachbarlisten durchsucht werden. Den Vorgang kann man durch die Erstellung von zwei weiteren Feldern, in denen man die Vorgängerlisten gespeichert werden, beschleunigt werden. Danach ist ein direkter Zugriff auf die Vorgänger möglich.<br>
Der Speicheraufwand ist abhängig von der Anzahl der Kanten. Die Adjazenzliste benötigt für einen gerichteten Graphen $n+m$ und für einen ungerichteten Graphen $n+2m$ Speicherplätze. Damit benötigt die Adjazenzliste für einen Graphen, dessen Kantenzahl $m$ viel kleiner ist als die maximale Anzahl, weniger Platz als die Adjazenzmatrix. Bei dynamischen Anwendungen ist die Adjazenzliste basierend auf Zeigern den anderen Darstellungsformen vorzuziehen.

==Adjazenzmatrix==
Um einen Graph $G$ darzustellen bietet sich eine $n \cdot n$ Matrix $A(G)$ an. Hierbei ist der Eintrag $a_{ij}$ von $A(G)$ gleich 1, wenn es eine Kante von $i$ nach $j$ gibt, andernfalls gleich 0. Da diese Matrix direkt die Nachbarschaft der Ecken widerspiegelt, nennt man sie Adjazenzmatrix. Zwei benachberte Knoten werden als ''adjazent'' bezeichnet. Da die Einträge der Matrix nur die Werte 0 und 1 annehmen können, kann $A(G)$ als Boolsche Matrix dargestellt werden. Es lassen sich sowohl gerichtete und ungerichtete Graphen darstellen, wobei im letzten Fall die Adjazenzmatrizen symmetrisch sind.<br>
Ist ein Diagonaleintrag der Matrix gleich 1, so bedeutet dies, dass eine Schlinge vorhanden ist. Um festzustellen ob es einen Weg von $i$ nach $j$ gibt, muss man nur den Eintrag $a_{ij}$ betrachten. Diese Operation kann somit unabhängig von der Größe der Matrix in einem Schritt durchgeführt werden. Um die Nachbarn einer Ecke $i$ in einem ungerichteten Graphen festzustellen, müssen alle Einträge der $i$-ten Spalte oder der $i$-ten Zeile durchsucht werden. Diese Operation ist somit unabhängig von der Anzahl der Nachbarn des Knotens. Für das Auffinden von Vorgängern und Nachfolgern gilt eine analoge Aussage. Im ersten Fall wird die passende Spalte und im zweiten die passende Zeile durchsucht.<br>
Unabhängig von der Anzahl der Kanten, werden immer $n^2$ Speicherplätze benötigt. Da bei einem ungerichteten Graphen, die Adjazenzmatrix symmetrisch ist, reicht es in diesem Fall die Einträge oberhalb der Diagonale zu speichern. Dann benötigt man noch $\frac{n \cdot(n-1)}{2}$ Speicherplätze.

==Bewertete Graphen==

==Implizite Darstellung==