AuK/Greedy-Algorithmen SS09
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<language>Scheme</language>
'''Dev Status'''
==Einführung==
Greedy (engl. ''gefräßig'') - eine gefräßige Strategie für Algorithmen. Sie funktioniert nach der Methode:
"Nimm immer den besten Happen, den du kriegen kannst."
Das geschieht durch eine rechnerische Entscheidung. Die Berechnung erfolgt auf der Basis ''lokaler'' Information, also ''ohne'' Rückgriff auf vorher ermittelte Werte.
==Bruchteilrucksack-Problem==
Greedy
==Aufbau==
(define greedy
(lambda (vorgabewert) ; z.B.: Kapazitaet der Rucksacks
(let
((kandidatenliste '(......))
(loesung? (lambda (ls) ... ))
(okay? (lambda (ls) ... ))
(naechster (lambda (ls) ... ))
(modify+ (lambda (x ls) ... ))
(modify- (lambda (x ls) ... ))
(ziel (lambda (ls) ... ))
(letrec
((helfer
(lambda (kandidaten resultat)
(cond
((loesung? resultat)(ziel resultat))
((and (null? kandidaten)(not (loesung? resultat)))
(error 'greedy "Es gibt keine Loesung."))
(else
(let* ((neuer-kandidat (naechster kandidaten))
(neues-resultat (cons neuer-kandidat resultat)))
(if (okay? neues-resultat)
(helfer (modify+ neuer-kandidat kandidaten) neues-resultat)
(helfer (modify- neuer-kandidat kandidaten) resultat))))))))
(helfer kandidatenliste '())))))
==Anwendbarkeit==
Greedy
==Beispiel (Geldwechsel)==
Einem Kunden wird Wechselgeld herausgegeben, wobei möglichst wenige Münzen verwendet werden sollen.
* Zur Verfügung haben wir alle Euro-Münzen: 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 (1 Euro), 200 (2 Euro).
* Die Münzen werden mit absteigendem Cent-Wert vorsortiert.
* Die Prozedur ''geldwechsel'' ergibt Resultatliste und Anzahl der Münzen.
<code hidden>(define delete
(lambda (item ls)
(cond
((null? ls) '())
((eqv? (car ls) item) (cdr ls))
(else
(cons (car ls) (delete item (cdr ls)))))))</code>
<code>(define geldwechsel
(lambda (restbetrag)
(let ((kandidatenliste '(200 100 50 20 10 5 2 1))
(loesung? (lambda (ls)(= restbetrag (apply + ls))))
(okay? (lambda (ls) (<= (apply + ls) restbetrag)))
(naechster car)
(modify+ (lambda (x ls) ls))
(modify- (lambda (x ls) (delete x ls)))
(ziel (lambda (ls) (cons (reverse ls) (list (length ls))))))
(letrec
((helfer
(lambda (kandidaten resultat)
(cond
((loesung? resultat)(ziel resultat))
((and (null? kandidaten)(not (loesung? resultat)))
(error 'greedy "Es gibt keine Loesung"))
(else
(let* ((neuer-kandidat (naechster kandidaten))
(neues-resultat (cons neuer-kandidat resultat)))
(if (okay? neues-resultat)
(helfer
(modify+ neuer-kandidat kandidaten)
neues-resultat)
(helfer
(modify- neuer-kandidat kandidaten)
resultat))))))))
(helfer kandidatenliste '())))))</code>
Die Prozedur wird benutzt um 12,93 Euro (1293 Euro-Cent) herauszugeben.
<eval>
(geldwechsel 1293)
</eval>
==Verschiedene Greedy-Algorithmen==
===Dijkstra===
[[Bild:Dijksta_Anim.gif|thumb|284px|'''Bild 6.1:''' Dijkstras Algorithmus<br />(Quelle: [http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm Wikipedia])]]
[http://de.wikipedia.org/wiki/Edsger_Wybe_Dijkstra Edsger W. Dijkstra auf Wikipedia]
====Kürzeste Wege in Graphen====
Die Suche nach der kürzesten Rundreise, die ''n'' gegebene Städte genau einmal besucht, gehört zu den schwierigsten Problemen, für die bisher nur Lösungsverfahren mit exponentieller Rechenzeit bekannt sind (siehe: [[Verzweigen_und_beschränken#Rundreiseproblem|Verzweigen und beschränken: Rundreiseproblem]]).
Das folgende Problem klingt noch schwieriger. Gesucht ist der kürzeste Weg von Stadt ''A'' zu Stadt ''B'', wobei für die ''n'' betrachteten Städte eine [[Entfernungsmatrix]] gegeben ist. Man muss ''alle'' Zwischenstädtefolgen (Wege) betrachten, auch solche, die nicht alle Städte enthalten.
[[Bild:Kropki.png|thumb|295px|left|'''Bild 6.2:''' Bewerteter ungerichteter Graph mit 7 Knoten]]
Dijkstra fand 1959 einen Algorithmus zur Lösung des Kürzeste-Wege-Problems dessen Rechenzeit in <math>\mathcal{O}(n^2)</math> liegt. Ein nach [http://de.wikipedia.org/wiki/Algorithmus_von_Floyd_und_Warshall Floyd und Warshall] benanntes Verfahren löst eine etwas weiter gehende fragestellung in <math>\mathcal{O}(n^3)</math>. Dabei werden die kürzesten Wege für ''alle'' Städtpaare bestimmt.
Das Problem ist, mathematisch gesehen, eine Sache der [http://de.wikipedia.org/wiki/Graphentheorie Graphentheorie].
Unter einem '''endlichen Graph''' ''G'' versteht man ein Paar ''(V, E)'', wobei ''V'' eine endliche Knotenmenge (Knoten = vertex) und ''E'' eine endliche Menge von Kanten (edges) bezeichnet. Eine Kante verbindet genau zwei Knoten. Es ist nicht verlangt, dass alle Knotenpaare durch je eine Kante verbunden sind. Es kann Mehrfachkanten geben.
Zur Speicherung von Graphen verwendet man Matrizen. Eine gängige Form sind sog. ''Adjazenmatrizen'', die für jedes Knotenpaar vermerken, ob die durch die aktuelle Zeile bzw. Spalte bestimmten Knoten durch eine Kante verbunden sind.
Handelt es sich um einen '''gewichteten Graph''', dessen Kanten z.B. mit je einer Zahl für eine bestimmte Länge, Masse oder einen Euro-Betrag markiert sind, werden diese ''Gewichte'' in der Adjazenmatrix angegeben. Nicht vorhandene Kanten werden durch einen vereinbarten Wert, meist 0, ''x'' oder eine sehr große Zahl, beschrieben.
Wir sprechen von einem '''gerichteten Graph''' (engl. ''directed graph'', ''Digraph''), wenn die Kanten einseitig gerichtete Pfeile sind.
====Dijkstras Algorithmus====
Gegeben sei der Bild in Bild 6.2 modellierter Stadplan mit 7 markanten Punkten ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''E'', ''F'' und ''G''.
Gesucht ist die kürzeste Strecke von ''A'' (Airport) zum Stadthotel ''D''.
Die Grundidee des Algorithmus ist, ab einem Startknoten die kürzest möglichen Wege weiter zu verfolgen und längere Wege beim Updaten auszuschließen. Er besteht aus diesen Schritten:
# Initialisiere eine Menge von Startknoten mit einem Element (''A'').
# Weise allen Knoten die beiden Eigenschaften "Distanz" und "Vorgänger" zu. Initialisiere die Distanz im Startknoten mit 0 und in allen anderen Knoten mit ∞.
# Solange es noch unbesuchte Knoten gibt wähle darunter denjenigen mit minimaler Distanz aus und
## Speichere, dass dieser Knoten schon besucht wurde
## Berechne für alle noch unbesuchten Nachbarknoten die Summe des jeweiligen Kantengewichtes und der Distanz im aktuellen Knoten
## Ist dieser Wert für einen Knoten kleiner als die dort gespeicherte Distanz, aktualisiere sie und setze den aktuellen Knoten als Vorgänger.<br/>Dieser Schritt wird auch als ''Update'' bezeichnet und ist die zentrale Idee von ''Dijkstra''.
[[Bild:Kropki_solved.png|thumb|295px|right|'''Bild 6.3:''' Bild 6.2 bearbeitet von Dijkstra-Algorithmus (von ''A'' nach ''D'')]]
S:={s};
Distanz(s):=0;
for all v<math>\in</math>V\{s} do {
Distanz(v)=Kante(s,v);
Vorgaenger(v)=s;
}
while z<math>\notin</math>S do {
Finde v'<math>\in</math>V\S mit Distanz(v')=min{Distanz(v) | v<math>\in</math>V\S};
S:=S<math>\cup</math>{v'};
for all v<math>\in</math>V\S do {
if Distanz(v')+Kante(v',v) < Distanz(v)
then {
Distanz(v):=Distanz(v')+Kante(v' ,v);
Vorgaenger(v):=v'
}
}
}
===Kruskal===
[http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Kruskal Joseph Kruskal auf Wikipedia]
==Übung==
===1. Geldwechsel (Euro)===
Berechnen Sie schriftlich, wieviele Münzen heraugegeben werden müssen, um den Betrag '''15,61 Euro''' auszuzahlen.
[[Bild:001eur.png|100px]] [[Bild:002eur.png|100px]] [[Bild:005eur.png|100px]] [[Bild:010eur.gif|100px]] [[Bild:020eur.gif|100px]] [[Bild:050eur.gif|100px]] [[Bild:1eur.gif|100px]] [[Bild:2eur.png|100px]]
Überprüfen Sie das Ergebnis mit hilfe von der Prozedur '''''geldwechsel'''''.
===2. Geldwechsel (US Dollar)===
Berechnen Sie schriftlich, wieviele Münzen heraugegeben werden müssen, um den Betrag '''15,61 US Dollar''' auszuzahlen.
Beachten Sie darauf, dass US Dollars folgende Münzen haben:
[[Bild:150px-Formative_Years_in_Indiana_Reverse.jpg|100px]] [[Bild:150px-2006_Nickel_Proof_Rev.png|100px]] [[Bild:150px-2005_Dime_Rev_Unc_P.png|100px]] [[Bild:150px-2006_Quarter_Proof.png|100px]] [[Bild:150px-2005_Half_Dollar_Rev_Unc_P.png|100px]] [[Bild:150px-LineartPresRev.png|100px]]
Überprüfen Sie das Ergebnis mit hilfe von der Prozedur '''''geldwechsel'''''.
'''Hinweis:''' die Kandidatenliste soll im Quellcode angepasst werden.
===3. Geldwechsel (Polski Złoty)===
Berechnen Sie schriftlich, wieviele Münzen heraugegeben werden müssen, um den Betrag '''15,61 PLN''' auszuzahlen.
Beachten Sie darauf, dass Polski Złoty folgende Münzen hat:
[[Bild:1grosz_2.png|100px]] [[Bild:2grosze_2.png|100px]] [[Bild:5groszy_2.png|100px]] [[Bild:10groszy_2.png|100px]] [[Bild:20groszy_2.png|100px]] [[Bild:50groszy_2.png|100px]] [[Bild:1zloty_2.png|100px]] [[Bild:2zloty_2.png|100px]] [[Bild:5zlotych_2.png|100px]]
Überprüfen Sie das Ergebnis mit hilfe von der Prozedur '''''geldwechsel'''''.
'''Hinweis:''' die Kandidatenliste soll im Quellcode angepasst werden.
===4. Prim-Algorithmus===
Verwenden Sie den Bsp. aus der Vorlesung, wählen Sie jetzt als den Startknoten: G<br />
Ermitteln Sie eine Reihenfolgenliste für alle Knoten.
==Kommentare==
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