AuK/Systematische Suche WS13-14

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;Autoren
:[mailto://s3hakret@stud.hszg.de Hannes Kretschmer]<br/>
:[mailto://s3juhils@stud.hszg.de Julian Hilsberg]

=Rucksackprobleme=

Aus einer Menge von Gegenständen die einen Wert $w$ und ein Gewicht $g$ besitzen, gilt es einen Rucksack zu füllen bei dem der Gesamtwert der eingepackten Gegenstände maximal ist, ohne die Kapizitätsgrenze $K$ des Rucksacks zu überschreiten. 

<center> <math> $\[ \sum_{i=1}^{n} x_i w_i \rightarrow max $ </math>  , wobei <math> $\[ \sum_{i=1}^{n} x_i g_i \le K $</math>, mit <math> $ x_i \in \{0,1\} $</math> </center>

Allgemein beschreiben Rucksackprobleme: Beladungsprobleme, Verschnittprobleme oder Probleme der Budgetkontrolle. 

==Beispiel==

Thomas will sein Geld anlegen und versucht ein Investment-Portfolio zu erstellen, aus dem er sich maximalen Gewinn erhofft. Er hat 10000€ ($K$) zur Verfügung und will diese in unterschiedliche Aktien verteilen, welche eine Bewertung ($w$) und einen festen zu investierenden Wert ($g$) besitzen. Nun geht es darum ein Portfolio zusammenzustellen (Rucksack), in welchem die Gesamtbewertung aller gekauften Aktien maximal ist, dabei darf sein Budget nicht überzogen werden.<br>

Zur Verfügung stehende Aktien:<br>

<table style="width: 40%" border="1" >
<tr>
<td>'''Aktie'''</td>
<td>'''Wert (in €)'''</td>
<td>'''Bewertung (0-10, höher ist besser)'''</td>
</tr>
<tr>
<td>Mapple</td>
<td>2500</td>
<td>8</td>
</tr>
<tr>
<td>Minisoft</td>
<td>3000</td>
<td>4</td>
</tr>
<tr>
<td>Le-Nogo</td>
<td>5000</td>
<td>5</td>
</tr>
<tr>
<td>Wogitech</td>
<td>6000</td>
<td>3</td>
</tr>
<tr>
<td>Joogle</td>
<td>4000</td>
<td>7</td>
</tr>
</table>
<br>

==Varianten==

Es gibt viele unterschiedliche Formen des Rucksackproblems:

<ol>
<li>'''0/1 Rucksackproblem:'''<br> Hier wird ein Gegenstand entweder vollständig (1) oder gar nicht (0) eingepackt. Außerdem darf der selbe Gegenstand nur einmal eingepackt werden.</li>
<li>'''Bruchteil-Rucksackproblem:''' <br> Man kann einen beliebigen Teil $t$, mit $0\% \le t \le 100\%$, eines Gegenstandes einpacken.</li>
<li>'''Unbeschränktes Rucksackproblem:''' <br> Bei dieser Variante des Problems gibt es keine Kapazitätsobergrenze, d.h. $K = \infty$.</li>
<li>'''Teilmengen-Summen-Problem (subset-sum problem):''' <br> In diesem speziellen Fall geht es darum die Gewichtskapazität des Rucksacks optimal auszunutzen, da der Wert mit dem Gewicht übereinstimmt, d.h. $g_i = w_i$ für alle $i$.</li>
</ol>

In diesem Artikel wird ausschließlich das 0/1 Rucksackproblem betrachtet. Bruchteil-Rucksackprobleme werden im Artikel der Greedy-Algorithmen behandelt.

<language>Scheme</language>
=Lösungsverfahren=

==Intuitives Verfahren==
Ohne viel zu denken könnte man den Rucksack zufällig mit Gegenständen füllen, bis die Kapazitätsgrenze erreicht ist. Durch Austausch von jeweils 2 Objekten kann man den Gesamtwert nachträglich erhöhen. Ein im Rucksack befindlicher Gegenstand wird herausgenommen und durch einen höherwertigen, zuerst nicht eingepackten ersetzt, jedoch ohne die Kapazitätsgrenze zu überschreiten.<br>
Dieses Verfahren ist aber nicht optimal. Erstens kann man bei diesem nicht systematischen Verfahren nie sicher sein das Wertmaximum zu erreichen.
Ein weiteres Problem tritt auf, wenn wir das obige Beispiel betrachten. Wenn man noch nachträglich die Aktien tauscht um eine bessere Bewertung des Portfolios zu erreichen, bezahlt man Gebühren für jede Transaktion und verpasst somit die Chance einer besseren Gesamtbewertung.<br>
Es wäre also von Vorteil, Verfahren zu finden, die im Voraus die beste Lösung finden.

<language>Scheme</language>
<language>Scheme</language>
==Tiefensuche==

Das Tiefe-zuerst-Suchverfahren (engl. depth first search) oder kurz: die Tiefensuche stellt ein Lösungsverfahren für das 0/1 Rucksackproblem dar.<br>

[[Bild:Tiefensuche1.png|200px|thumb|right|Entscheidungsbaum für die Gewichtsliste (30 50 10)]]

'''Voraussetzung:'''<br>
<ul>
 <li>$w_i := g_i$</li>
 <li>Liste mit Gegenständen im Rucksack (zunächst leer),</li>
 <li>Liste der Gegenstände, die in den Rucksack übergehen können</li>
</ul>

'''Vorgehensweise:'''<br>
<ul>
 <li>mit jedem Schritt wird entschieden, ob ein Gegenstand in den Rucksack gelegt werden soll, oder nicht</li>
 <li>der Prozess endet (spätestens) sobald die Liste der Gegenstände außerhalb des Rucksacks leer ist</li>
</ul>

<code id="5267bf214b241">

(define rucksack1
  (lambda (g-ls s-ls)
    (if (null? g-ls)
        s-ls
        (begin
          (rucksack1 (cdr g-ls) (cons (car g-ls) s-ls))   ; Tiefe
          (rucksack1 (cdr g-ls) s-ls))))) ; Breite

</code>

<run id="5267bf214b2cc">
(trace 'rucksack1)
(rucksack1 '(30 50 10) '())
</run>

==Breitensuche==

===Ablauf===
Die Breitensuche (Breite-zuerst-Suche, engl. breadth-first search) durchläuft die Knoten eines Graphen nach der Entfernung vom Startknoten geordnet.
Die direkt vom Startknoten mit einer Kante erreichbaren, werden zuerst bearbeitet, dann die mit zwei, danach die mit drei usw.

===Erstellung eines Suchbaumes===
[[Bild:Breitensuche1.png|200px|thumb|right|Breitensuchbaum für 0/1-Rucksackproblem]]
Eine Alternative zu Lösung des Rucksackproblems, besteht darin den Suchbaum schichtenweise zu erstellen.
Man ist nicht gezwungen einen binären Suchbaum zu verwenden, sondern es geht darum den Suchraum durch Breitensuche eine baumartige Struktur zu geben. 
Wie auf dem rechten Bild zu sehen besitzt der Baum, für das Rucksackproblem mit drei Gegenständen genau 16 Knoten. Die Anzahl der Knoten kann berechnet werden: 
<math> $\[ \sum_{k=0}^{n} \dfrac{n!}{k!}$ </math>

Einige der Knoten sind aber überflüssig, da die Reihenfolge der eingepackten Sachen keine Rolle spielt. In dieser Form ist das Verfahren zur Lösung des Rucksackproblems ungeeignet.

===Breitensuche mit verbrauchend gelesener Basismenge===
[[Bild:Breitensuche2.png|200px|thumb|right|Reduzierter Suchbaum]]
Um einen brauchbaren Suchbaum zu erhalten, muss man die Gegenstandsliste in jedem Schritt stärker minimieren, als nur durch entfernen des einzupackenden Gegenstandes. <br>
Einen Baum auf den dieses Verfahren angewandt wurde, zeigt Bild 2.2.Schon vorgekommene Zustände sollen ausgeschlossen werden. Die 8 Blätter zeigen sämtliche Packzustände des Rucksacks.

===Laufzeit===
Im Worst-Case müssen alle Knoten des Breitensuchbaumes betrachtet werden. Daher beträgt die Laufzeit: <math>\mathcal{O}(\vert V \vert + \vert E \vert)</math>

===Speicherplatzverbrauch===
Da alle bisher gesehenen Knoten gespeichert werden, ist der Speicherplatzverbrauch außerordentlich groß. Damit ist die Breitensuche für sehr große Probleme ungeeignet.

=Beschränkung des Suchbaumes=

==Tiefensuche mit Beschränkung==

=Nichtdeterminismus=

Beim Rucksackproblem wird der Suchprozess bei der Tiefensuche als Baum dargestellt. Dieser Baum existiert aber nicht wirklich, d.h. er wird nicht als Datenstruktur repräsentiert. 
Der Programmierer denkt in Bäumen, wenn er versucht das Verfahren in seiner Programmiersprache implementiert. Bietet die gewählte Programmiersprache das Mittel Rekursion, kann das die Arbeit weiter vereinfachen. Denn so kann die rekursive Baumstruktur direkt in eine rekursive Programmstruktur abgebildet werden. Trotzdem muss der Programmierer noch viel geistige Energie in die Organisation des Suchprozesses stecken, um einen erfolgreichen Algorithmus zu schreiben. <br> Es wäre von Vorteil nur das potentielle Resultat zu beschreiben und sich nicht um den Prozess zur Findung dieses Ergebnisses kümmern zu müssen. So kommen wir zur deskriptiven Programmierung. <br>
Um das zu realisieren eignen sich nichtdeterministische Algorithmen besonders gut.
Ein nichtdeterministischer Algorithmus "erahnt" den richtigen Pfad von der Wurzel bis zum Resultat-Blatt, falls eins existiert.
Nichtdeterminismus beschreibt eine übernatürliche Fähigkeit, das Richtige vorherzusehen. <br>
Nun könnte man denken, durch den Einsatz des Nichtdeterminismus kann man auch die Effizienz des Algorithmus steigern, dass gelingt aber nur in den seltensten Fällen. Der Nichtdeterminismus wird durch deterministische Sprachmittel simuliert, im Hintergrund findet eine Tiefensuche statt, die bei vollständigem Durchlauf einen exponentiellen Aufwand erfordert.
Der große Vorteil vom Einsatz des Nichtdeterminismus ist die Verbesserung der kognitiven Effizienz, die hilft komplexere Probleme zu lösen.

==Nichtdeterministische Summandensuche==
Das folgende Programm sucht nach Summanden für eine angegebene ganze Zahl.

<code>
(define summanden 
  (lambda () 
   (list (choice '(1 2 3 4 5 6))(choice '(1 2 3 4 5 6)))))

(define sumsuche 
  (lambda (summe) 
   (let ((kandi (summanden))) 
     (if (= (apply + kandi) summe) 
       kandi (choice '())))))
</code>

<run>
(initialize-amb-fail)
(bag-of (sumsuche 5))
</run>