BuK/IIm12/Studenten/siclsche/thema2

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== Aufgabe 1 ==
Kommentieren Sie. Nennen Sie Beispiele.

#. Unzugängliches (wenigstens) für Computer
#. Praktisch Unmöglich 

zu 1:
* benötigte Beschreibungssprachen fehlen, dadurch nicht maschinell verarbeitbar bzw. formalisierbar
* es sind umfassende Probleme, mit vielen abhängigen Parametern vorhanden
* durch den Einsatz von künstlicher Intelligenz, Data Mining und Computersimulation wird die Klasse der unzugänglichen Probleme immer mehr verkleinert
* '''Beispiel:''' Wird alles gut werden? , Gefällen ihr die Schuhe oder nicht?

zu 2:
* vorhandene Probleme können maschinell beschrieben werden, aber nicht effizient gelöst werden
* '''Beispiel:''' Travelling Salesman Problem, Job Shop Scheduling Problem

== Aufgabe 2 ==
Wiederholen Sie die Definition von abzählbar unendlichen Mengen

'''abzählbar unendliche Mengen'''

Eine Menge ist abzählbar unendlich, wenn es möglich ist eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge X zu finden ist. 

'''überabzählbar unendliche Mengen'''

Wird eine solche Funktion nicht gefunden, ist die zu untersuchenden Menge überabzählbar unendlich.

== Aufgabe 3 ==
Cantorisches Diagonalisierungsverfahren 1.Art: Idee und am Beispiel der Wortmenge A*

Motivation dieses Verfahrens ist es, eine sichere Aussage über die Überabzählbarkeit von Mengen zu treffen.

'''Cantorsches Diagonalisierungsverfahren 1. Art'''

Diese Art ist konstruktiver Natur und läuft auf das abzählen der Elemente hinaus. Hierbei versucht man die Mengen nach einem bestimmten Prinzip zu ordnen und bildet sie anschließend auf die Menge der natürlichen Zahlen ab.

'''Beispiel:''' Wortmenge A*
* Alphabet:  A={a,b,c} $\rightarrow$ die Wortmenge wird längen-lexikografisch (nach Länge und Alphabet) geordnet
* Wortmenge: A* = {$\epsilon$, a,b,c, aa, ab, ac, ba, bc, ca, cb, abc, .....} $\rightarrow$ durch die Verkettung entstehen neue Wörter
* außerdem lassen sich die einzelnen Wörter in Bereiche unterteilen  $\rightarrow$ die Länge der einzelnen Bereich entspricht einer Kardinalität von $|A|^{\text{Ordnungsrelation des Bereiches}}$
** 1.Bereich: $\epsilon$
** 2.Bereich: a,b,c 
** usw.
* somit ist es Möglich jedes Element der Wortmenge auf die natürlichen Zahlen ($\mathbb{N}\rightarrow$ A*) bijektiv abzubilden
* und es kann gesagt werden, dass die '''Wortmenge A*''' eine '''abzählbar unendliche Menge''' ist

== Aufgabe 4 ==
Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen abzählbar unendliche Mengen sind  $\mathbb{Z \quad Q \quad}$, die Menge der Primzahlen und die geraden Zahlen.

'''Die Menge der $\mathbb{Z}$ (ganze Zahlen) 

* die Elemente der Menge der ganzen Zahlen können auf eine Zahlenstrahl dargestellt werden und somit Indexiert werden
** 0,-1,1,-2,2,-3,3,......

* $f(i)=\begin{cases}-\frac{i}{2} & \text{, wenn }i(i \in \mathbb{N})\text{ gerade}\\\frac{i+1}{2} & \text{, sonst}\end{cases}$ $\rightarrow$ mit dieser Funktion wird die bijektive Abbildung der natürlichen Zahlen auf die ganzen Zahlen noch einmal verdeutlicht
* somit kann gesagt werden, das die Menge der ganzen Zahlen eine abzählbar unendliche Menge ist

'''Die Menge der $\mathbb{Q}$''' (rationalen Zahlen)
* um zu Beweisen, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist, kommt das 1.Cantorsche Diagonalverfahren zum Einsatz

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
!
!$0$
!$1$
!$2$
!$3$
!$4$
!$5$
!...
|-
|| 0 || --- || --- || --- || --- || --- || --- || ...
|-
|| 1 || --- || 1/1 || 1/2 || 1/3 || 1/4 || 1/5 || ...
|-
|| 2 || --- || 2/1 || 2/2 || 2/3 || 2/4 || 2/5 || ...
|-
|| 3 || --- || 3/1 || 3/2 || 3/3 || 3/4 || 3/5 || ...
|-
|| 4 || --- || 4/1 || 4/2 || 4/3 || 4/4 || 4/5 || ...
|-
|| 5 || --- || 5/1 || 5/2 || 5/3 || 5/4 || 5/5 || ...
|-
|| ... || ... || ... || ... || ... || ... ||  ... ||...
|-
|}
*dadurch kann bewiesen werden das die Menge der rationalen Zahlen ein abzählbar unendliche ist

== Aufgabe 5 ==
Beweisen Sie den folgenden Satz: Wenn $M_1,M_2,M_3$,.... abzählbare Mengen sind, dann ist auch die Menge $$\bigcup_{n=1}^\infty M_n$$ abzählbar.