PMG/Kurs 11/Rekursion I

Wiki-Quelltext dieser Seite.

<language>Pascal</language>
<font color=darkgreen size=4>''Quadratpflanze''</font>



Die Bilder zeigen die ersten drei Stufen der Entstehung sowie [http://www.inf-schule.de/index.php?version=0&seite=informatik/rekursion/rekursionzahlen/uebungen|hier] eine "entwickelte" Pflanze (wobei hier die neuen Seitenlängen jeweils nur noch ein Drittel der vorherigen betragen).

[[Bild:Thomas_QP_erste_Stufen.JPG]]

* Finde auch in der "Quadratpflanze" die einfachere in der komplizierteren wieder.
* Nach welcher Rekursionsvorschrift werden "Quadratpflanzen" erzeugt?
* Zeichne den nächsten Schritt in der Entwicklung.
* Analog zum Baum soll eine "Quadratpflanze" mit der Turtle gezeichnet werden.<br>

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</code>

<run>
selectCanvas(1);
canvas_clear(); // Zeichenfläche löschen
turtle_move(200,200); //Turtle in Mitte
</run>

<canvas w=800 h=400></canvas>


=== Fraktale ===

Mit selbstähnlichen Figuren bzw. Objekten beschäftigt sich heute ein ganzes Teilgebiet der Mathematik, die ''fraktale Geometrie''. Ihre Untersuchungsergebnisse reichen in die Funktions- und Berechnbarkeitstheorie hinein und haben einen wesentlichen Einfluss auf die ''Chaosforschung'' komplexer dynamischer Systeme.<br />

[[Bild:Mandelbrot1.png|miniatur|Die vielleicht berühmteste fraktale Struktur: Das Apfelmännchen]]

Der Begriff '''Fraktal''' (lat. fractus "gebrochen") geht auf den französisch-US-amerikanischen Mathematiker '''Benoît Mandelbrot''' (* 20. November 1924; † 14. Oktober 2010) zurück. Mit ihm werden natürliche oder künstliche Gebilde bzw. geometrische Muster bezeichnet, die einen hohen Grad an Selbstähnlichkeiten aufweisen.

Klassische selbstähnliche oder fraktale Figuren sind das Sierpinski-Dreieck und die Koch-Schneeflocke:

<blockquote>[[Bild:Sierpinski_Koch1.GIF]]</blockquote>

 Beschreibe beide ''Fraktale'' verbal und versuche sie, mit der Turtle-Grafik zu implementieren.

'''Hinweis:''' Zur Implementation fraktaler Figuren stehen Dir die [[PMG/Kurs_11/Rekursion_I/Turtle_Sprachelemente|Sprachelemente der Turtle-Grafik]] zur Verfügung.


<font color=darkgreen size=4>''Sierpinski-Dreieck''</font>

Diese selbstähnliche Figur ist nach dem polnischen Mathematiker '''Wacław Franciszek Sierpiński''' (* 14. März 1882; † 21. Oktober 1969) benannt. Die nachfolgende Abbildung zeigt die Konstruktion dieses Dreiecks:

<blockquote>[[Bild: Sierpinski1.GIF]]</blockquote>

<code id="4fdb5352a9f13">

</code>

<run id="4fdb5352a9fd4">
selectCanvas(2);
canvas_clear(); // Zeichenfläche löschen
turtle_move(200,200); //Turtle in Mitte
</run>

<canvas w=800 h=400></canvas>


<font color=darkgreen size=4>''Koch-Schneeflocke''</font>

Der schwedische Mathematiker '''Helge von Koch''' (* 25. Januar 1870; † 11. März 1924) stellte im Jahr 1904 einen stetigen Graphen vor, der an keiner Stelle differenzierbar ist.
Die sogenannte Koch-Schneeflocke setzt sich aus drei dieser Koch-Kurven zusammen, die auf den Seiten eines gleichseitigen Dreiecks angeordnet sind:

<blockquote>[[Bild: Kochkurve1.GIF]]</blockquote>



<code id="4fdb5352a9f6c">

</code>

<run id="4fdb5352aa040">
selectCanvas(3);
canvas_clear(); // Zeichenfläche löschen
turtle_move(200,200); //Turtle in Mitte
</run>

<canvas w=800 h=400></canvas>