BuK/IIm11/Studenten/siinkoer

Wiki-Quelltext dieser Seite.

<language>Scheme</language>
==== Aufgabe 3 <tt>(Ingo Körner, Christof Ochmann)</tt> ====

Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen abzählbar unendlich sind: $\Z, \Q$, die Menge der Primzahlen, die geraden Zahlen.

Für $\Z$:

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
|-
|| 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || ...
|-
|| 0 || 1 || -1 || 2 || -2 || 3 || ...
|-
|}


$$f(n) = \begin{cases}
-\frac{n}{2}, & \text{wenn n gerade};\\
\lceil \frac{n}{2} \rceil, & \text{sonst }.\\
\end{cases}$$


Für $\Q$:

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
!$\Z$\$\N$
!$1$
!$2$
!$3$
!$4$
!$5$
!...
|-
|| 1 || 1/1 || 1/2 || 1/3 || 1/4 || 1/5 || ...
|-
|| 2 || 2/1 || 2/2 || 2/3 || 2/4 || 2/5 || ...
|-
|| 3 || 3/1 || 3/2 || 3/3 || 3/4 || 3/5 || ...
|-
|| 4|| 4/1 || 4/2 || 4/3 || 4/4 || 4/5 || ...
|-
|| 5 || 5/1 || 5/2 || 5/3 || 5/4 || 5/5 || ...
|-
|| ... || ... || ... || ... || ... || ... || ...
|-
|}

Es werden mit Hilfe des ersten Cantorschen Diagonalisierungsverfahren alle Zahlen erreicht.

Für die Menge der Primzahlen:

1. Die Menge der Primzahlen P ist unendlich (nach Satz von Euklid).

2. Die Menge der Primzahlen P ist abzählbar unendlich, da gilt: P $\subset \N$.


Für die Menge der geraden Zahlen:

1. Die geraden Zahlen G sind unendlich (per Definition) und abzählbar unendlich, da gilt: G $\subset \Z$.





==== Aufgabe 4 <tt>(Ingo Körner, Christof Ochmann)</tt> ====
ÜA: Zeigen Sie, dass jede endliche Menge M aufzählbar ist.

''aufzählbar = abzählbar + berechenbar''

1) Jede endliche Menge ist aufzählbar (per Definition).

2) Jede endliche Menge ist berechenbar. 

Es gibt eine Funktion f, die als Eingabe die natürlichen Zahlen N nimmt und auf jedes Element der endlichen Menge M abbildet. f ist berechenbar, da es eine total berechenbare surjektive Funktion f : N -> M gibt.
Es wird der Reihe nach jedes Element aus N einem Element aus M zugeordnet. Ist f sujektiv, können die restlichen Elemente aus N auf ein beliebiges Element von M abgebildet werden. Somit ist f surjektiv, total und berechenbar.


ÜA: Die Menge G der Gitterpunkte (0, 0),(0, 1), ... einer x-y-Ebene ist aufzählbar.
[[Bild:Koerner_2D_Ebene.png| miniatur |Übersicht: 2D-Ebene]]


1 Geben Sie eine Funktion f an, die $\N_0$ bijektiv auf G abbildet.

<code id="4f7b544cf3270">
(define-syntax while
  (syntax-rules ()
    ((while condition body ...)
     (let loop ()
       (if condition
           (begin
             body ...
             (loop))
           )))))

(define decode
  (lambda (k)
    
(define p 1)
(define q k)
(while (<= p q)
  (set! q (- q p))
  (set! p (+ p 1))
)
 (set! p (- p 1))
 (list (- p q) q)
    ))
 
</code>


<run id="4f781a7f0309a">
(decode 17)
</run>

2 Definieren Sie eine Ordnungsrelation $p_<$ in G.

$(G, p_<)$ = {(0,0) < (0,1) < (1,0) < (2,0) < (1,1) < (0,2) < (0,3) < (1,2) < (2,1) < ...}

3 Geben Sie eine Funktion k zur Berechnung der Platznummer k(x, y) des betrachteten Gitterpunktes (x, y) an.


<code id="4f7872cf68601">
(define pair 
    (lambda (m n)
        (+ (/ (* (+ m n) (+ m n 1)) 2) n)
    )
)
</code>

<run id="4f7872cf686a7">
(pair 3 2)
</run>


4 Geben Sie eine Aufzählprozedur für G an und begründen Sie deren Berechenbarkeit.


=== Teilaufgabe 1 - Beweis Teil 1 <tt>(Ingo Körner, Christof Ochmann)</tt> ===
Hinrichtung des Satzes: Wenn M eine entscheidbare Menge ist, dann sind M und $A^*$\M aufzählbare Mengen.

Beweis:
Aus der Entscheidbarkeit von M folg semi-Entscheidbarkeit von M und \M.
Jede semi-entscheidbare Menge M ist aufzählbar. Es gibt eine Aufzählfunktion f für M. Sie wird auch Contorsche Paarungsfunktion genannt.

$$f(z) = \begin{cases}
g(x), & \text{wenn $\chi'_M$(g(x)) = wahr innerhalb von Zeit y};\\
a, & \text{wenn Proz. für $\chi'_M$(g(x)) innerhalb y ohne Ergebnis}.\\
\end{cases}$$
wobei a $\in$ M, wenn $M \neq \emptyset$

$$g(x) = \begin{cases}
w, & \text{w $\in$ M};\\
\perp, & \text{sonst}.\\
\end{cases}$$


=== Turing-Aufzählbarkeit, Turing-Entscheidbarkeit (Max Wielsch, Raik Bieniek, Ingo Körner, Christof Ochmann) ===
Definieren Sie die Begriffe Turing-aufzählbar und Turing-entscheidbar analog zur Turing-Berechenbarkeit.

Sei A ein Alphabet, $M \subseteq A^*$. M heißt Turing-entscheidbar, falls die charakteristische Funktion $\chi_M$  Turing-berechenbar ist.

M heißt Turing-aufzählbar, wenn es eine Funktion $f: N \rightarrow M$ gibt, die surjektiv und Turing-berechenbar ist.

=== Aufgabe 1 (Ingo Körner, Christoph Ochmann) ===
(Aufgabe siehe: VL Slide 13)

Zeigen Sie die Unentscheidbarkeit (Semi-Entscheidbarkeit) von $L_{\Sigma^{*}}:=\{\left\langle M \right\rangle | L(M) = \Sigma^{*} \}$ durch Reduktion der Sprache $L_{\Sigma^{*}}$ auf das Halteproblem.

Schreibe für alle Eingabewörter aus $\Sigma^{*}$ die Kodierung der Maschine M, d.h. <M>, sowie w $\in$ $\Sigma^{*}$ auf das Band einer Maschine $M_2$. Die Maschine $M_2$ ist so konstruiert, dass sie aus ihrer Eingabe <M> und w die Kodierung einer Maschine M', d.h. <M'>, zusammen mit einem Eingabewort y auf ihr Band als Ausgabe schreibt. Die Besonderheit von M' ist, dass diese Maschine mit dem Eingabewort y stoppt, wenn M(w) stoppen würde. Dabei ist y nur ein Platzhalter, denn y hat auf die Terminierung von M' keinen Einfluss. Als nächstes wird <M'> und y auf das Band einer UTM $M_1$ geschrieben. $M_1$ führt die Kodierung der Maschine M' mit dem Wort y aus. Dabei verwirft die Maschine M' als erstes ihr Eingabewort y, so dass ihr Band leer ist. Wenn die durch $M_1$ ausgeführte Maschine M' mit ihrem leeren Band hält, so heißt das, dass auch die Maschine M mit dem Wort w akzeptieren würde. Wenn die durch die Maschine $M_1$ ausgeführte Maschine M' auf dem anfangs leeren Band nicht in einem Endzustand hält, dann stoppt auch die Maschine M mit dem Wort w nicht in einem Endzustand. <M> ist $\in$ $L_{\Sigma^{*}}$ genau dann, wenn M' termiert.