Berechenbarkeitstheorie/Sätze und Zusammenhänge
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<language>Scheme</language>
<code id="4f7aacbdd2dad" hidden>
;;; Simple timer interrupt system
; It runs with both Scheme an Racket as well.
; Source 'Engines from Continuations' (R. Kent Dybvig and Robert Hieb) adapted for computability purposes by CW, 2012
(define start-timer #f)
(define stop-timer #f)
(define decrement-timer #f)
(define quit #f) ; nonlocal exit, as used in the definition of timed-lambda
(define gen-quit
(lambda ()
(equal? "expired" ; don't change "expired" here
(call/cc
(lambda (cont)
(set! quit cont))))))
(begin (gen-quit) (void))
(let ([clock 0] [handler #f])
(set! start-timer
(lambda (ticks new-handler)
(set! handler new-handler)
(set! clock ticks)))
(set! stop-timer
(lambda ()
(let ([time-left clock])
(set! clock 0)
time-left)))
(set! decrement-timer
(lambda ()
(when (> clock 0)
(set! clock (- clock 1))
(when (= clock 0) (handler))))))
(define-syntax timed-lambda
(syntax-rules ()
((_ formals exp1 exp2 ...)
(lambda formals (decrement-timer) exp1 exp2 ...))))
(define-syntax time-ltd-task
(syntax-rules ()
((_ task ticks)
(begin
(start-timer ticks (lambda () (quit "expired")))
task))))
</code>
<code id="4f7aacbdd2e4a" hidden>
;;; STREAMS - Implementation mit verzoegerter Evaluation (delay, force)
;; Selektoren
(define stream-car
(lambda (s)
(car (force s))))
(define stream-cdr
(lambda (s)
(cdr (force s))))
;; Konstruktoren
(define-syntax stream-cons
(syntax-rules ()
((_ x str) (delay (cons x str)))))
(define make-stream
(lambda (seed proc)
(letrec
((stream-builder
(lambda (n)
(delay (cons n (stream-builder (proc n)))))))
(stream-builder seed))))
;; Operationen mit streams
(define stream-item
(lambda (str k)
(if (= k 0)
(stream-car str)
(stream-item (stream-cdr str) (- k 1)))))
(define stream->list
(lambda (str n)
(if (= n 0)
'()
(cons
(stream-car str)
(stream->list (stream-cdr str) (- n 1))))))
(define stream-map
(lambda (f str)
(delay
(cons
(f (stream-car str))
(stream-map f (stream-cdr str))))))
(define print-stream
(lambda (str items)
(if (<= items 0)
(begin
(display "...")(newline))
(begin
(write (stream-car str))
(display ", ")
(print-stream (stream-cdr str)(- items 1))))))
; nat_zahlen
; (display (stream->list nat_zahlen 20))
; nat_zahlen
; (display (stream->list (stream-map (lambda (i) (* 10 i)) nat_zahlen) 10))
;; --- Ende streams ---
;;; Aufzaehlbare Mengen
(define nat_zahlen (make-stream 0 (lambda (n) (+ n 1))))
(define menge-bis print-stream) ; angepasster Prozedurnamen
(define generiere_aufzaehlbare_menge
(lambda (f)
(stream-map f nat_zahlen)))
(define generiere_aufzaehlbare_wortmenge
(lambda (f)
(stream-map number->string (stream-map f nat_zahlen))))
</code>
==Aufzählbarkeit und Semi-Entscheidbarkeit==
===Zeitbeschränkte Berechnung===
Zur Implementierung der zentralen Ideen dieses Beweises benötigen wir das Konzept ''zeitbeschränkter Berechnung'': Beim Start einer Berechnungsaufgabe wird eine gewisse Anzahl von Ticks angegeben. Ist die betreffende Berechnung in dieser Zeit abgeschlossen, wird deren Ergebis zurück gegeben. Anderenfalls bricht die Berechnung ab. Zur Information erscheint die Ausschrift 'expired' (allerdings nicht aus auswertbarer Rückgabewert).
<code id="4f79e5b49a3a6" hidden>
(define fib
(timed-lambda (n) ; note the timed-lambda definition for decrement-timer invocations
(cond
((= n 0) 0)
((= n 1) 1)
(else
(+ (fib (- n 1)) (fib (- n 2)))))))
(define find-minimal-amount-of-time
(lambda (ticks)
(time-ltd-task (fib 10) ticks)
(display ticks)(display " ")
(find-minimal-amount-of-time (- ticks 1))))
</code>
<run id="4f79e5b49a5b4">
(time-ltd-task (fib 10) 200)
</run>
'''Aufgabe''': Verändern Sie die Zahl der Ticks für die Berechnung von <tt>(fib 10)</tt> und versuchen Sie die Zeit herauszufinden, die zur Berechnung von <tt>(fib 10)</tt> mindestens benötigt wird.
'''Aufgabe''': Zur Überprüfung Ihres experimentell ermittelten Resultats verwenden Sie die folgende Prozedur. Sie kann leicht für andere Anwendungen angepasst werden, indem man den <tt>(fib 10)</tt> entsprechend ersetzt.
<code id="4f7aacbdd2edc">
(define find-minimal-amount-of-time
(lambda (ticks)
(time-ltd-task (fib 10) ticks)
(display ticks)(display " ")
(find-minimal-amount-of-time (- ticks 1))))
</code>
<run id="4f7aacbdd2fa7">
(find-minimal-amount-of-time 200)
</run>
Aufgrund der hier gewählten (unsichtbaren) Implementierung des Timer-Systems ist die Anzahl der erforderlichen Ticks Rechner- und Netz-unabhängig.
'''Aufgabe''': Experimentieren Sie mit größeren Argumenten für <tt>fib</tt>, z.B. <tt>(fib 40)</tt>, unter Vorgabe von lediglich 200 Ticks. Beachten Sie, dass eine Berechnung, für die die vorgegebene Zeit nicht ausreicht, automatisch abgebrochen wird.
<run id="4f7aaeb9c37ae">
(time-ltd-task (fib 40) 200)
</run>
===Paarungsfunktion===
Der programmtechnisch unproblematische Abbruch bei Überschreitung einer vorgegebenen Zeit ist eine wichtige Eigenschaft, die wir im Folg. bei der Implementierung der Aufzählfunktion ausnützen.
Wir verwenden die Cantorsche Paarungsfunktion:
<run id="4f7ad3cd00dfc"></run>
==Abzählbarkeit und Aufzählbarkeit==
<code id="4f82aa6a81d56">(define alphabet '(a b c))</code>
<code id="4f82ace00e50a" hidden>
(define n (length alphabet))
(define wert
(lambda (zeichen)
(letrec
((helper
(lambda (alph i)
(cond
((null? alph) 0)
((eq? zeichen (car alph)) i)
(else
(helper (cdr alph) (+ i 1)))))))
(helper alphabet 1))))
(define potenz
(lambda (basis exponent)
(if (= exponent 0)
1
(* basis (potenz basis (- exponent 1))))))
(define wort-nr
(lambda (wort)
(let ((m (string-length wort)))
(+ (/ (- (potenz n m) 1) 2) (position wort)))))
(define position
(lambda (wort)
(cond
((= (string-length wort) 0) 0)
((= (string-length wort) 1) (wert (string->symbol (string (string-ref wort 0)))))
(else
(+ (* n (- (position (substring wort 0 (- (string-length wort) 1))) 1))
(wert (string->symbol (substring wort (- (string-length wort) 1)))))))))
</code>
===Längenlexikografische Ordnung===
An welcher Position in der Menge $A^*$ befindet sich das Wort <tt>cac</tt>?
<run id="4f82aa6a81e97">(wort-nr "cac")</run>
Welches Wort steht an Position 34?
==Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit==
Satz: Eine Menge $M$, mit $M\subseteq A^*$, ist ''entscheidbar'' genau dann, wenn $M$ '''und''' $A^*\setminus M$ (Komplementmenge) ''aufzählbare'' Menge sind.
Wir wollen den Beweis des Teils "Wenn $M$ und $A^*\setminus M$ aufzählbare Mengen sind, dann ist $M$ eine entscheidbare Menge." mit einem ausführbaren Beispiel illustrieren.
<code id="4f7842e667e5b" hidden>
(define f
(lambda (n)
(number->string (+ (* 2 n) 1))))
(define g
(lambda (n)
(number->string (* 2 n))))
(define chi_M
(lambda (w)
(letrec
((helper
(lambda (i)
(cond
((string=? (f i) w) #t)
((string=? (g i) w) #f)
(else
(helper (+ i 1)))))))
(helper 0))))
</code>
Wir wählen für $f$ die Aufzählprozedur für die ungeraden Zahlen und für $g$ die Aufzählprozedur für die geraden Zahlen. Damit erzeugen wir die betrachteten Mengen $M$ und $A^*\setminus M$.
<code id="4f7842e667ec5">
(define M (generiere_aufzaehlbare_menge f))
(define A*-M (generiere_aufzaehlbare_menge g))
</code>
Von beiden Mengen schauen wir uns jeweils 10 Elemente an.
<run id="4f7842e667f39">
(menge-bis M 10)
(menge-bis A*-M 10)
</run>
Wie man sieht, haben wir es mit Mengen von Zahlwörtern zu tun.
Die Prozedure für $\chi_M$ wurde so konstruiert, wie im Beweis angegeben. Erproben Sie selbst einige Aufrufbeispiele mit selbstgewählten Wörtern aus $A^*$, also Wörtern natürlicher Zahlen.
<run id="4f7842e667f93">
(chi_M "9199")
</run>