BuK/IIm11/Studenten/sistluet

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'''Aufgabe 6''' 

Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.

Hinweis: Es reicht schon aus zu zeigen, dass es im Intervall [0, 1] überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt. 

'''Lösung:'''

Methode: Indirekter Beweis

Annahme: Die Menge der reelen Zahlen ist abzählbar unendlich.

Daraus folgt: man kann sie nacheinander aufschreiben:

$n_{1} = 0,$ $n_{11}$ $n_{12}$ $n_{13}$ $n_{14} ... $

$n_{2} = 0,$ $n_{21}$ $n_{22}$ $n_{23}$ $n_{24} ... $

$n_{3} = 0,$ $n_{31}$ $n_{32}$ $n_{33}$ $n_{34} ... $

$.$

$.$

$.$

$n_{i} = 0,$ $n_{i1}$ $n_{i2}$ $n_{i3}$ $n_{i4} ... $


$.$

$.$

$.$

Konstruktion einer Zahl $x$ mit $x \in [0 ; 1]$, die nicht in der Menge vorkommen kann:

$x = 0,$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{3}$ $x_{4} ...$
wobei $x_{i} = (n_{ii} +1)$ $mod 10$ sein soll. Durch diese Definition wird ersichtlich, dass man immer eine Zahl $x_{i}$ findet, die nicht innerhalb der Menge ist.

'''Quelle:'''
[http://www.mathepedia.de/Ueberabzaehlbar_unendlich.aspx]