BuK/IIm11/Studenten/sistluet

Wiki-Quelltext dieser Seite.

'''Aufgabe 6''' 

Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.

Hinweis: Es reicht schon aus zu zeigen, dass es im Intervall [0, 1] überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt. 

'''Lösung:'''

Methode: Indirekter Beweis

Annahme: Die Menge der Reelen Zahlen ist abzählbar unendlich.

Daraus folgt: man kann sie nacheinander aufschreiben:

$n_{1} = 0, n_{11} n_{12} n_{13} n_{14} ... $

$n_{2} = 0, n_{21} n_{22} n_{23} n_{24} ... $

$n_{3} = 0, n_{31} n_{32} n_{33} n_{34} ... $

$.$

$.$

$.$

$n_{i} = 0, n_{i1} n_{i2} n_{i3} n_{i4} ... $


Konstruktion einer Zahl $x$ mit $x \in [0 ; 1]$, die nicht in der Menge vorkommen kann:

$
x = 0, x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} ...
$
wobei $x_{i} = (n_{ii} +1) mod 10$ sein soll. Durch diese Definition entsteht ein Wiederspruch für alle i , womit bewiesen ist, das die reelen Zahlen überabzählbar ist.

'''Quelle:'''
[http://www.mathepedia.de/Ueberabzaehlbar_unendlich.aspx]


'''Alternative:'''

Die Zahl Pi ist irrational. zieht man von Pi 3 ab, ist die dadurch entsehende Zahl nicht durch einen Bruch darstellbar.