BuK/IIm11/Studenten/sistluet

Wiki-Quelltext dieser Seite.

'''Aufgabe 6''' 

Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.

Hinweis: Es reicht schon aus zu zeigen, dass es im Intervall [0, 1] überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt. 

'''Lösung:'''

Beweis durch indirekten Beweis

Annahme:

die Menge der Reelen Zahlen ist abzählbar unendlich.

daraus folgt: man kann sie nacheinander aufschreiben:

n1 = 0, n11 n12 n13 n14 ...
n2 = 0, n21 n22 n23 n24 ...
n3 = 0, n31 n32 n33 n34 ...
.
.
.
ni = 0, ni1 ni2 ni3 ni4 ...

Konstruktion einer Zahl, die bisher nicht in der Menge vorkommt:
x element [0 ; 1]

x = 0, x1 x2 x3 x4 ...

wobei 

xi = (nii +1) mod 10

sein soll. Durch diese Definition Entsteht ein Wiederspruch für alle i , womit bewiesen ist, das die reelen Zahlen überabzählbar ist.

'''Quelle:'''
[http://www.mathepedia.de/Ueberabzaehlbar_unendlich.aspx]


'''Alternative:'''

Die Zahl Pi ist irrational. zieht man von Pi 3 ab, ist die dadurch entsehende Zahl nicht durch einen Bruch darstellbar.