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==== Aufgabe 3 <tt>(Ingo Körner, Christof Ochmann)</tt> ====

Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen abzählbar unendlich sind: $\Z, \Q$, die Menge der Primzahlen, die geraden Zahlen.

Für $\Z$:

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
|-
|| 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || ...
|-
|| 0 || 1 || -1 || 2 || -2 || 3 || ...
|-
|}


Für $\Q$:

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
!$\Z$\$\N$
!$1$
!$2$
!$3$
!$4$
!$5$
|-
|| 1 || 1/1 || 1/2 || 1/3 || 1/4 || 1/5
|-
|| 2 || 2/1 || 2/2 || 2/3 || 2/4 || 2/5
|-
|| 3 || 3/1 || 3/2 || 3/3 || 3/4 || 3/5
|-
|| 4|| 4/1 || 4/2 || 4/3 || 4/4 || 4/5
|-
|| 5 || 5/1 || 5/2 || 5/3 || 5/4 || 5/5
|-
|}

Es werden mit Hilfe des ersten Cantorschen Diagonalisierungsverfahren alle Zahlen erreicht.

Für die Menge der Primzahlen:

1. Die Menge der Primzahlen P ist unendlich (nach Satz von Euklid).

2. Die Menge der Primzahlen P ist abzählbar unendlich, da gilt: P $\subset \N$.


Für die Menge der geraden Zahlen:

1. Die geraden Zahlen G sind unendlich (per Definition) und abzählbar unendlich, da gilt: G $\subset \Z$.