BuK/IIm11/Studenten/sistsche

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== Eigenschaften von Funktionen ==
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
!Eigenschaft
!Beschreibung
!Darstellung	
!Formel Beispiele
|-
||surjektiv ||  Jedes Element aus B hat mindestens einen Partner in A || XXX || $ \R \Rightarrow  \R_{+}, x \rightarrow x^2 $
|-
||nicht surjektiv || ||XXX|| $ \R \Rightarrow  \R, x \rightarrow x^2 $, da z.B. -1 keinen zugehörigen x Wert besitzt
|-
||injektiv ||  Jedes Element aus B hat höchstens einen Partner in A || XXX || $ \N \Rightarrow  \N, x \rightarrow x^2 $
|-
||nicht injektiv || || XXX || $ \Z \Rightarrow  \Z, x \rightarrow x^2 $, da -1 und 1 das selbe Ergebnis besitzen.
|-
||bijektiv ||  Jedes Element aus B hat genau einen Partner in A (muss injektiv und surjektiv sein) || XXX || $ \R_{+} \Rightarrow  \R_{+}, x \rightarrow x^2 $
|-
||nicht bijektiv || || XXX || $ \R \Rightarrow  \R_{+}, x \rightarrow x^2 $
|-
|}

== Beispiele ==

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
!Funktion $X \Rightarrow Y$
!Darstellung	
|-
||injektiv,surjektiv || XXX 
|-
||injektiv,nicht surjektiv || XXX 
|-
||nicht injektiv,surjektiv || XXX 
|-
||nicht injektiv,nicht surjektiv || XXX 
|-
|}


== Potenzmenge ==
Ist die Menge aller Teilmengen. $ P(X) = \{U | U \subset X\} $Sie besitzt $2^n -1$ Elemente.
# Leere Menge aufnehmen
# Mengen mit 1 Element aufnehmen
# Mengen mit 2 Elementen aufnehmen
## 1. Element mit 2.
## 1. Element mit 3.
## ...
## 1. Element mit n.
## 2. Element mit 3.
## ...
## n-1. Element mit n.
# ...
# n Stellige Menge aufnehmen

=== Beispiel ===

$ P(\{a,b,c\})=\{\{\emptyset\},$<br />
$   P(\{a,b,c\})=\{\{\emptyset\},\{a\},\{b\},\{c\},$<br />
$   P(\{a,b,c\})=\{\{\emptyset\},\{a\},\{b\},\{c\}\},\{ab\},\{ac\},\{bc\},$<br />
$   P(\{a,b,c\})=\{\{\emptyset\},\{a\},\{b\},\{c\}\},\{ab\},\{ac\},\{bc\}\},\{abc\}\} $<br />

== Aufgabe 2 und 3 ==

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
!$A$
!$B$
!$C$
!$\overline{A}$
!$\overline{B}$
!$\overline{C}$
!$A \Rightarrow B$
!$B \Rightarrow C$
|-
|| W || W || W || F || F || F || W || W 
|-
|| W || W || F || F || F || W || W || F
|-
|| W || F || W || F || W || F || F || W
|-
|| W || F || F || F || W || W || F || W
|-
|| F || W || W || W || F || F || W || W
|-
|| F || W || F || W || F || W || W || F
|-
|| F || F || W || W || W || F || W || W
|-
|| F || F || F || W || W || W || W || W
|-
|}

=== Aufgabe 2 === 
Beweisen Sie die Aussage, wonach aus der Gültigkeit der Aussagen $A \Rightarrow B$, $B \Rightarrow C$ und $\overline{C}$ die Gültigkeiten von $\overline{A}$ und $\overline{B}$ folgen. Stellen Sie den Sachverhalt in einer
Wahrheitstabelle dar.

Lösung: Laut der Spalten $\overline{C}, A \Rightarrow B, B \Rightarrow C$ werden diese nur in Zeile 8 Wahr 
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
!$\overline{A}$
!$\overline{B}$
!$\overline{C}$
!$A \Rightarrow B$
!$B \Rightarrow C$
|-
|| W || W || W || W || W
|-
|}

=== Aufgabe 3 === 
Was kann man über die Gültigkeit von A und B schließen, wenn bekannt ist, dass $A \Rightarrow B$, $B \Rightarrow C$ und $C$ gelten?
Verwenden Sie die Tabelle aus der vorhergehenden Aufgabenlösung. 

'''Lösung:''' Laut Spalten $C, A \Rightarrow B , B \Rightarrow C$ werden diese in Zeile 1,5,7 Wahr woraus folgt:

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
!$A$
!$B$
!$C$
!$A \Rightarrow B$
!$B \Rightarrow C$
|-
|| W || W || W || W || W 
|-
|| F || W || W || W || W
|-
|| F || F || W || W || W
|-
|}