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== Übung 1 ==

=== Vollständige Induktion ===

Beweisen Sie die folgenden Beziehungen für Fibonacci-Zahlen nach Definition in obigem Beispiel mittels vollständiger Induktion für $ n \in \N$ und $n \geq 1$

==== Aufgabe 1 ====

$$ \sum\limits_{k=1}^{n} F_{k} =  F_{n+2} - 1$$

'''IA:'''

$ n = 1 \Rightarrow
\sum\limits_{k=1}^{1} F_{k} =  F_{3} - 1 \Rightarrow
1 = 1
$

'''IS:'''

Wenn $\sum\limits_{k=1}^{i} F_{k} = F_{i+2} - 1$ gilt (IV), dann gilt auch $\sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{k} = F_{i+3} - 1$ (IB).

$\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{k} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{k} + F_{i+1} = F_{i+2} - 1 + F_{i+1} = F_{i+3} - 1$

==== Aufgabe 2 ====

$$ \sum\limits_{k=1}^{n} F_{2k} =  F_{2n+1} - 1$$

'''IA:'''

$ n = 1 \Rightarrow
\sum\limits_{k=1}^{1} F_{2k} =  F_{3} - 1 \Rightarrow
1 = 1
$

'''IS:'''

Wenn $\sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k} = F_{2i+1} - 1$ gilt (IV), dann gilt auch $\sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{2k} = F_{2(i+1)+1} - 1 = F_{2i+3} - 1$ (IB).

$\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{2k} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k} + F_{2(i+1)} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k} + F_{2i+2} = F_{2i+1} - 1 + F_{2i+2} = F_{2i+3} - 1$

==== Aufgabe 3 ====

$$ \sum\limits_{k=1}^{n} F_{2k-1} =  F_{2n}$$

'''IA:'''

$ n = 1 \Rightarrow
\sum\limits_{k=1}^{1} F_{2k-1} =  F_{2} \Rightarrow
1 = 1
$

'''IS:'''

Wenn $\sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k-1} = F_{2i}$ gilt (IV), dann gilt auch $\sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{2k-1} = F_{2(i+1)}= F_{2i+2}$ (IB).

$\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{2k-1} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k-1} + F_{2(i+1)-1} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k-1} + F_{2i+1} = F_{2i} + F_{2i+1} = F_{2i+2}$

== Funktionen ==

=== Übungsaufgabe partielle Funktion ===

Die im Folg. definierte Funktion $q : \R \mapsto \R$ ist an der Stelle $x=3$ undefiniert. Hierfür verwenden wir das Symbol $\bot$.

$$q(x)=\begin{cases}
  \dfrac{35}{x-3},  & \text{wenn }x \neq 3\text{;}\\
  \bot, & \text{sonst.}
\end{cases}
$$
Programm, das $q$ berechnet: